"숫자 23과 다항식 x³-x+1"의 두 판 사이의 차이
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* 판별식이 <math>\Delta=b^2-4ac=-23</math>이 이차형식 :<math>x^2+xy+6y^2, 2x^2-xy+3y^2, 2x^2+xy+3y^2</math> | * 판별식이 <math>\Delta=b^2-4ac=-23</math>이 이차형식 :<math>x^2+xy+6y^2, 2x^2-xy+3y^2, 2x^2+xy+3y^2</math> | ||
** <math>h(\Delta)=3</math> 이 되는 첫번째 예 | ** <math>h(\Delta)=3</math> 이 되는 첫번째 예 | ||
| + | * class field <math>x^3-x+1</math>의 해 <math>\alpha</math>에 대하여, <math>H=K(\alpha)</math>로 정의 | ||
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* [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]] | * [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]] | ||
* 다항식 <math>x^3-x+1 \pmod p</math> 가 소수 <math>p</math> 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문 | * 다항식 <math>x^3-x+1 \pmod p</math> 가 소수 <math>p</math> 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문 | ||
| − | * <math>\eta(\tau)\eta(23\tau)=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})(1-q^{23n})=q-q^2-q^3+q^6+q^8-q^{13}-q^{16}+q^{23}-q^{24}+q^{25}+q^{26}+q^{27}-q^{29}-q^{31}+q^{39}-q^{41}+\cdots</math> | + | * 다음을 이용하여 답할 수 있다 |
| − | + | :<math> | |
| + | \begin{align} | ||
| + | \eta(\tau)\eta(23\tau)&=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})(1-q^{23n})\\ | ||
| + | {}&=q-q^2-q^3+q^6+q^8-q^{13}-q^{16}+q^{23}-q^{24}+q^{25}+q^{26}+q^{27}-q^{29}-q^{31}+q^{39}-q^{41}+\cdots | ||
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| + | </math> | ||
| + | 여기서 <math>\eta(\tau)</math> 는 [[데데킨트 에타함수]] | ||
| + | :<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n}), \quad q=e^{2\pi i\tau}</math> | ||
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==메모== | ==메모== | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] | * [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] | ||
| + | * [[이차형식 x^2+27y^2]] | ||
* [[타원 모듈라 j-함수의 singular moduli]] | * [[타원 모듈라 j-함수의 singular moduli]] | ||
* [[베버(Weber) 모듈라 함수]] | * [[베버(Weber) 모듈라 함수]] | ||
2013년 4월 10일 (수) 08:54 판
개요
- \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\)
- 판별식이 \(\Delta=b^2-4ac=-23\)이 이차형식 \[x^2+xy+6y^2, 2x^2-xy+3y^2, 2x^2+xy+3y^2\]
- \(h(\Delta)=3\) 이 되는 첫번째 예
- class field \(x^3-x+1\)의 해 \(\alpha\)에 대하여, \(H=K(\alpha)\)로 정의
상호 법칙
- 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)
- 다항식 \(x^3-x+1 \pmod p\) 가 소수 \(p\) 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문
- 다음을 이용하여 답할 수 있다
\[ \begin{align} \eta(\tau)\eta(23\tau)&=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})(1-q^{23n})\\ {}&=q-q^2-q^3+q^6+q^8-q^{13}-q^{16}+q^{23}-q^{24}+q^{25}+q^{26}+q^{27}-q^{29}-q^{31}+q^{39}-q^{41}+\cdots \end{align} \] 여기서 \(\eta(\tau)\) 는 데데킨트 에타함수 \[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n}), \quad q=e^{2\pi i\tau}\]
singular moduli