"실해석적 아이젠슈타인 급수"의 두 판 사이의 차이
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2013년 4월 11일 (목) 02:03 판
개요
- 정의
\[ \begin{align} E(\tau,s) &=\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}} \\ &=\sum_{\gamma\in \Gamma_{\infty}\backslash \Gamma}\Im\left(\gamma(\tau)\right)^s \end{align} \] 여기서 $\Re(s)>1$, $\tau = x + iy\in \mathbb{C}, \quad y > 0$
- 복소 타원 곡선의 스펙트럼 제타 함수
해석적 확장
- $s>1$에서 급수가 수렴하며, 전체 복소 평면으로 확장되며, $s=1$에서만 단순 폴을 가진다
크로네커 극한 공식
\[E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi\left(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right) +O(s-1)\] 여기서 \(\gamma\) 는 오일러상수, 감마, \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수
함수방정식
- $\xi(\tau,s) = \pi^{-s}\Gamma(s)E(\tau,s)$로 두면, 다음을 만족한다
$$ \xi(\tau,s)=\xi(\tau,1-s) $$
마스 형식(Maass form)
- 푸앵카레 상반평면 모델에서의 라플라시안
- $\Delta=y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)$
- 라플라시안 $\Delta$의 고유벡터
\[\Delta E(z,s)=s(s-1)E(z,s)\]
- 실해석적 아이젠슈타인 급수는 마스 형식의 예이다
관련된 항목들
수학용어번역
- analytic - 대한수학회 수학용어집