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| − | * 로바체프스키 함수의 정의:<math>\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}</math | + | * 로바체프스키 함수의 정의:<math>\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}</math> 로바체프스키 함수는 [[쌍곡기하학]]의 연구에서 등장하였으며, 3차원 쌍곡다양체의 부피를 표현하는데 유용하다 |
| − | * [[클라우센 함수(Clausen function)]] 와의 관계:<math>Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)</math | + | * [[클라우센 함수(Clausen function)]] 와의 관계:<math>Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)</math> |
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| − | * <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math>:<math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속 | + | * <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math>:<math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속 |
* <math>z=e^{2i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}</math> | * <math>z=e^{2i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}</math> | ||
* 따라서 <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)</math> | * 따라서 <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)</math> | ||
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMWQ5NGY3YWEtYTQ3MC00YzE5LTgwOWYtZmYxMDc1NzcwOGM1&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMWQ5NGY3YWEtYTQ3MC00YzE5LTgwOWYtZmYxMDc1NzcwOGM1&sort=name&layout=list&num=50 | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2690774 The Newest Inductee in the Number Hall of Fame] | + | * Colin C. Adams [http://www.jstor.org/stable/2690774 The Newest Inductee in the Number Hall of Fame], Mathematics Magazine, Vol. 71, No. 5 (Dec., 1998), pp. 341-349 |
| − | + | * John W. Milnor [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 Hyperbolic geometry: The first 150 years], Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24. | |
| − | * [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 Hyperbolic geometry: The first 150 years] | ||
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==관련도서== | ==관련도서== | ||
| − | * [http://books.google.com/books?id=hwQmbllvFMUC Foundations of hyperbolic manifolds] | + | * John G. Ratcliffe [http://books.google.com/books?id=hwQmbllvFMUC Foundations of hyperbolic manifolds] |
| − | * | + | * Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century., Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003. |
| − | + | * W. Thurston The Geometry and Topology of Three-Manifolds | |
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2013년 5월 12일 (일) 03:03 판
개요
- 다이로그 함수(dilogarithm )의 변종으로 이해할 수 있다
- 로바체프스키 함수의 정의\[\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}\] 로바체프스키 함수는 쌍곡기하학의 연구에서 등장하였으며, 3차원 쌍곡다양체의 부피를 표현하는데 유용하다
- 클라우센 함수(Clausen function) 와의 관계\[Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\]
dilogarithm 함수와의 관계
- dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
- \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)\[|z|\leq 1\] 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
- \(z=e^{2i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때, \[\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}\]
- 따라서 \(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때, \[\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)\]
그래프
- \(\Lambda(\theta)\)는 기함수이고, \(\pi\) 를 주기로 가짐
- \(\theta=\pi/6+n\pi\)일 때 최대값을 가진다
멱급수 전개
\(0 < \theta <\pi\) 일 때,
\(\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}\)
\(B_{2n}\)은 베르누이 수
덧셈공식
- 정리 \(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})\)
- (증명)
\(2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})\)
절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,
\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\)
를 얻는다.
\(n=2\) 일때,
\(\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C\)
\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 이면,
\(\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi)+C\)
\(\theta=0\) 이면,
\(\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C\)
두 식으로부터
\(\Lambda(\pi)=\Lambda(0)\)을 얻는다.
한편, \(\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|\) 는 \(\pi\) 를 주기로 가지므로, \(\Lambda(\theta)\) 역시 \(\pi\)를 주기로 갖는 함수가 된다.
\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\) 에서 기함수의 성질을 이용하면, \(C=0\)이 된다.
3차원 쌍곡기하학과의 관계
- 이면각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어진 ideal tetrahedron \(T\)에 대하여, 다음이 성립
- \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)
- \(\operatorname{Vol}(T)=\Lambda(\alpha)+\Lambda(\beta)+\Lambda(\gamma)\)
- 이면각 (dihedral angles) 한 점에서 만나는 세 면이 각각 이루는 각
special values
- $2\Lambda(\frac{\pi}{6})=Cl_2(\frac{\pi}{3})$ http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
- $6\Lambda(\frac{\pi}{3})=2.0298832128193072500\cdots$ 는 figure-eight 매듭 K에 의해 정의되는 3차원 쌍곡다양체 $S^3-K$의 부피이다
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Colin C. Adams The Newest Inductee in the Number Hall of Fame, Mathematics Magazine, Vol. 71, No. 5 (Dec., 1998), pp. 341-349
- John W. Milnor Hyperbolic geometry: The first 150 years, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24.
관련도서
- John G. Ratcliffe Foundations of hyperbolic manifolds
- Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century., Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003.
- W. Thurston The Geometry and Topology of Three-Manifolds
- Chapter 7 (pdf)