특성 다항식

개요

• 크기가 n인 행렬 $A$ 에 대하여 다음과 같이 정의되는 다항식

$$ p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_n) $$

• similar 관계에 대한 불변량

$$ p_{Q^{-1}AQ}(\lambda)=p_A(\lambda) $$

• 외대수(exterior algebra)와 겹선형대수(multilinear algebra)를 통하여, 다음과 같이 쓸 수 있다

$$ p_A (t) = \sum_{k=0}^n t^{n-k} (-1)^k \operatorname{tr}(\Lambda^k A) $$

예

• $A=(a_{ij})$가 크기 2인 행렬인 경우

$$ p(\lambda) = \lambda ^2-\lambda(a_{1,1}+a_{2,2})+a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1} $$

• $A=(a_{ij})$가 크기 3인 행렬인 경우

$$ p(\lambda)=-\lambda^3+(a_{1,1}+a_{2,2}+a_{3,3})\lambda^2+(a_{1,2} a_{2,1}-a_{1,1} a_{2,2}+a_{1,3} a_{3,1}+a_{2,3} a_{3,2}-a_{1,1} a_{3,3}-a_{2,2} a_{3,3})\lambda+\det A $$

관련된 항목들

• 행렬식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVWNEc2c2TTlpMTA/edit