2-term 다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 과 행렬

개요

• 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)
• 2x2 행렬\[A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right)\]에 대해서 다음과 같은 연립방정식을 생각

$$ \left\{ \begin{array}{c} 1-x_ 1=x_ 1^{a} x_ 2^{b} \\ 1-x_ 2=x_ 1^{b} x_ 2^{c} \\ 0<x_i<1, \, i=1,2 \end{array} \right.$$

• 로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm) 가 적당한 유리수 \(r_A\)에 대하여 다음을 만족하는 행렬을 분류하는 문제\[L(x_ 1)+L(x_ 2)=r_{A}L(1)\]

쌍대성

• 두 2x2 행렬 A , B 가 서로 역행렬일때,
  
• \(L(x)+L(1-x)=2L(1)\)\[\log (1-x)=A\log x\]\[\log x=A^{-1}\log (1-x)\]
  

행렬의 예

• complete list of the form \( \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}\) only a+b = 2,1,1/2,0 allowed

\[ \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}\]

• complete list of the form \( \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

\[ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\]

• M(3,5)\[\left[ \begin{array}{cc} 5/2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right]\]
  
• M(3,4)\[ \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\]
  
• M(2,5)\[ \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}\]
  
• M(6,7)\[ \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}\]
  
• d=0 case (not positive definite)\[ \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}\]
  

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeWplbkFwR0RPWlU/edit

 

 

 

관련논문

• Bytsko, Andrei G. 1999. “Two-term Dilogarithm Identities Related to Conformal Field Theory.” Letters in Mathematical Physics. A Journal for the Rapid Dissemination of Short Contributions in the Field of Mathematical Physics 50 (3): 213–228. doi:http://dx.doi.org/10.1023/A:1007618823700.
• Terhoeven thesis http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/Database/Doktor/terhoeven.ps.gz