겔폰드-슈나이더 정리

겔폰드-슈나이더 정리

(정리) 겔폰드-슈나이더, 1934

\(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}\) 는 초월수이다.

 

 

겔폰드 상수

• \(e^\pi\) 를 겔폰드 상수라 함
  
• \(e^\pi=(e^{i\pi})^{-i}=(-1)^{i}\)
  
• 겔폰드 슈나이더 정리를 적용하면, 초월수임이 증명.
  

 

 

겔폰드-슈나이더 상수

• \(2^{\sqrt2}\)
  
• 겔폰드 슈나이더 정리를 적용하면, 초월수임이 증명.
  

 

 

또다른 예

• \(e^{\pi \sqrt{163}}=(e^{-i\pi})^{\sqrt{-163}}=(-1)^{\sqrt{-163}}\) 이므로 초월수이다 숫자 163

 

 

역사

• 힐버트 7번 문제
• 1934년 해결
• 수학사 연표

 

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/w/index.php?title=겔폰드-슈나이더_정리
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond–Schneider_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond–Schneider_constant
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_problems

 

 

관련링크와 웹페이지

• Transcendental number theory
  
  • Michael Filaseta's Lecture notes
  • The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results

 

 

블로그

• http://blog.hshin.info/172