"Q-지수함수"의 두 판 사이의 차이

2011년 11월 11일 (금) 10:02 판

지수함수 의 q-analogue
지수함수의 멱급수 표현
\(e^{z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\)
q-팩토리얼 은 다음과 같이 주어진다
\([n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q}\)
q-analogue 를 얻는다
\(e_q(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!}\)
또다른 q-analogue
\(E_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-zq^n}\)
\(e_q(z) = E_q(z(1-q))\)
본질적으로는 양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm) 이다

q-이항정리
\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
\(\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

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 * [[q-팩토리얼]] 은 다음과 같이 주어진다<br><math>[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q}</math><br>
 *  q-analogue 를 얻는다<br><math>e_q(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!}</math><br>
-*  또다른 q-analogue<br><math>E_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-q^n z}</math><br><math>e_q(z) = E_q(z(1-q))</math><br>
+*  또다른 q-analogue<br><math>E_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-zq^n}</math><br><math>e_q(z) = E_q(z(1-q))</math><br>
 *  본질적으로는 [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]] 이다<br>