"프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리"의 두 판 사이의 차이

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==프로베니우스의 밀도 정리==
 
==프로베니우스의 밀도 정리==
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* prime ideal과 순환마디 형태의 관계
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* prime ideal과 순환 마디 형태의 관계
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* <math>f(x)\in\mathbb{Z}[x]</math> : 갈루아 군이 G인, 차수가 $n$이고 최고차항이 1인 기약다항식
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* <math>f(x)\in\mathbb{Z}[x]</math> : 갈루아 군이 $G=\operatorname{Gal}(f)$인, 차수가 $n$이고 최고차항이 1인 기약다항식
 
* $f$의 서로 다른 해를 $\alpha_1,\cdots, \alpha_n$으로 두면, $G$는 치환군 $S_n$의 부분집합으로 볼 수 있다
 
* $f$의 서로 다른 해를 $\alpha_1,\cdots, \alpha_n$으로 두면, $G$는 치환군 $S_n$의 부분집합으로 볼 수 있다
 
* 소수 $p$에 대하여, $f(x) \pmod p$의 인수분해로부터 $n$의 분할 <math>n_1,n_2,\cdots,n_r</math>가 정의된다
 
* 소수 $p$에 대하여, $f(x) \pmod p$의 인수분해로부터 $n$의 분할 <math>n_1,n_2,\cdots,n_r</math>가 정의된다
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* 주어진 분해 형태로부터, 같은 순환 마디 형태를 갖는 $G$의 원소들의 집합 $N$, 즉 <math>N =\{a \in G : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}</math>을 정의하자
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===정리===
 
===정리===
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* 분해 형태가 <math>n_1,n_2,\cdots,n_r</math>인 소수 $p$의 집합은 밀도를 가지며, 밀도는 $N/\operatorname{Gal}(f)$으로 주어진다
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* 분해 형태가 <math>n_1,n_2,\cdots,n_r</math>인 소수 $p$의 집합 $S$는 $\delta(S)$를 가지며, 이는 $\delta(S)=|N|/|G|$으로 주어진다
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여기서 :<math>N =|\{a \in \operatorname{Gal}(f) : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}|</math>
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** 순환마디 형태가 같으나, 서로 다른 켤레류에 있는 갈루아 군의 원소가 존재함
 
** 순환마디 형태가 같으나, 서로 다른 켤레류에 있는 갈루아 군의 원소가 존재함
 
* <math>f(x)\in\mathbb{Z}[x]</math> : 갈루아 군이 G인 최고차항이 1인 기약다항식
 
* <math>f(x)\in\mathbb{Z}[x]</math> : 갈루아 군이 G인 최고차항이 1인 기약다항식
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* $C$가 $G$의 켤레류라 하고, $S$를 아틴 심볼 $\sigma_{p}\in C$인 소수 $p$들의 집합이라 하자
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* $C$가 $G$의 주어진 켤레류라 하고, $S$를 아틴 심볼 $\sigma_{p}\in C$인 소수 $p$들의 집합이라 하자
 
===정리===
 
===정리===
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$S$의 밀도가 존재하며 이는 다음과 같이 주어진다
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$S$의 밀도 $\delta(S)$가 존재하며 이는 $\delta(S)=|C|/|G|$로 주어진다
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:<math>\delta(S)=\frac{|C|}{|G|}</math>
 
  
 
   
 
   

2013년 8월 28일 (수) 18:40 판

개요

  • density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와 프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리.
  • 갈루아 체확장 L/K



프로베니우스의 밀도 정리

  • prime ideal과 순환 마디 형태의 관계
  • \(f(x)\in\mathbb{Z}[x]\) : 갈루아 군이 $G=\operatorname{Gal}(f)$인, 차수가 $n$이고 최고차항이 1인 기약다항식
  • $f$의 서로 다른 해를 $\alpha_1,\cdots, \alpha_n$으로 두면, $G$는 치환군 $S_n$의 부분집합으로 볼 수 있다
  • 소수 $p$에 대하여, $f(x) \pmod p$의 인수분해로부터 $n$의 분할 \(n_1,n_2,\cdots,n_r\)가 정의된다
  • 주어진 분해 형태로부터, 같은 순환 마디 형태를 갖는 $G$의 원소들의 집합 $N$, 즉 \(N =\{a \in G : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}\)을 정의하자


정리

  • 분해 형태가 \(n_1,n_2,\cdots,n_r\)인 소수 $p$의 집합 $S$는 $\delta(S)$를 가지며, 이는 $\delta(S)=|N|/|G|$으로 주어진다


체보타레프의 밀도 정리

  • prime ideal과 켤레류의 관계
    • 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
    • 순환마디 형태가 같으나, 서로 다른 켤레류에 있는 갈루아 군의 원소가 존재함
  • \(f(x)\in\mathbb{Z}[x]\) : 갈루아 군이 G인 최고차항이 1인 기약다항식
  • $C$가 $G$의 주어진 켤레류라 하고, $S$를 아틴 심볼 $\sigma_{p}\in C$인 소수 $p$들의 집합이라 하자

정리

$S$의 밀도 $\delta(S)$가 존재하며 이는 $\delta(S)=|C|/|G|$로 주어진다


밀도 정리를 통한 디리클레 정리의 유도

\(\zeta_n\)는 primitive n-단위근이고 \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.

소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시키는 \(\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)\) 로 정의된다.

p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.

한편 \(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.

따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.



메모



역사

  • 1880 프로베니우스의 밀도 정리
  • 1922 체보타레프의 밀도 정리
  • 1927 아틴 상호 법칙
  • 수학사 연표



수학용어번역

  • conjugate class - 켤레류, 공액류
  • cycle decomposition - 순환치환 분할
  • conjugate - 대한수학회 수학용어집
    • 켤레, 공액
  • conjugacy - 대한수학회 수학용어집
    • 켤레변형, 공액연산자
  • cycle - 대한수학회 수학용어집
    • 순환마디, 순환치환, 사이클



관련된 항목들


관련된 학부 과목


관련된 대학원 과목



사전 형태의 자료



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리뷰, 에세이, 강의노트

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