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==제1종 스털링 수== | ==제1종 스털링 수== | ||
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| − | <math>(x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3</math> | + | * 예 |
| − | + | :<math>(x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3</math> | |
| − | s(3,0)=0, s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1 | + | $$s(3,0)=0, s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1$$ |
| − | + | * 점화식 | |
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| + | s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k) | ||
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* n개 원소를 갖는 집합을 k개의 블록으로 분할하는 방법의 수 <math>S(n,k)</math> | * n개 원소를 갖는 집합을 k개의 블록으로 분할하는 방법의 수 <math>S(n,k)</math> | ||
* 제2종 스털링 수 | * 제2종 스털링 수 | ||
| − | + | :<math>x^{n}=\sum_{j}S(n,j)(x)_j</math> | |
| − | + | * 예 | |
| − | + | :<math>x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+3x(x-1)+x(x-1)(x-2)</math> | |
| − | <math>x^{n}=\sum_{j}S(n,j)(x)_j</math> | + | $$S(3,0)=0, S(3,1)=1,S(3,2)=3,s(3,3)=1$$ |
| − | + | * 점화식 | |
| − | 예 | + | $$ |
| − | + | S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k) | |
| − | <math>x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+3x(x-1)+x(x-1)(x-2)</math> | + | $$ |
| − | + | * 생성함수 | |
| − | 생성함수 | + | :<math>\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}</math> |
| − | + | * 지수생성함수 | |
| − | <math>\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}</math> | + | :<math>\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}</math> |
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==벨 수열 (Bell number)과의 관계== | ==벨 수열 (Bell number)과의 관계== | ||
| − | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number | |
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| − | + | * 집합 $\{1,2,\cdots,n\}$ 의 분할의 개수 | |
| − | <math>B(n)=\sum_{k}S(n,k)</math> | + | :<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</math> |
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number | * http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number | ||
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2014년 1월 3일 (금) 08:55 판
개요
- \(s(n,k)\) 제1종 스털링 수
\[(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\]
- \(S(n,k)\) 제2종 스털링 수
\[x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j\]
제1종 스털링 수
- 정의
\[(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\]
- 예
\[(x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3\] $$s(3,0)=0, s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1$$
- 점화식
$$ s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k) $$
제2종 스털링 수
- n개 원소를 갖는 집합을 k개의 블록으로 분할하는 방법의 수 \(S(n,k)\)
- 제2종 스털링 수
\[x^{n}=\sum_{j}S(n,j)(x)_j\]
- 예
\[x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+3x(x-1)+x(x-1)(x-2)\] $$S(3,0)=0, S(3,1)=1,S(3,2)=3,s(3,3)=1$$
- 점화식
$$ S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k) $$
- 생성함수
\[\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}\]
- 지수생성함수
\[\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}\]
벨 수열 (Bell number)과의 관계
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number
- \(B(n)=\sum_{k}S(n,k)\)
- 집합 $\{1,2,\cdots,n\}$ 의 분할의 개수
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.\]
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스