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* 3차의 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 분해할 때 나타나는 현상의 이해
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==아이젠슈타인 3차 상호법칙==
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===거듭제곱 잉여 부호===
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* $n\geq 2$ : 자연수
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* $K$ : $n$의 단위근 $\zeta_n$이 속해 있는 수체
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* <math>\mathcal{O}_K</math> : $K$의 정수환 <math>\zeta_n\in\mathcal{O}_K</math> 
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* <math>\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K </math> : $n \not \in \mathfrak{p}$을 만족하는 prime ideal
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* $\mathrm{N} \mathfrak{p} = |\mathcal{O}_k / \mathfrak{p}|$, <math>\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}</math>을 만족한다
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* 페르마의 소정리 <math>\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},</math>이면 다음이 성립한다
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* 적당한 $s\in \mathbb{Z}$에 대하여 다음이 성립한다
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* 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상을 다음과 같이 정의
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* $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$
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** 이는 $\alpha=a+b\omega, 3\nmid a, 3|b$와 동치
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===상호법칙===
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* $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[\omega]$가 primary라 하자.
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또한, $\alpha = a + b\omega$가 primary이고 $a = 3m + 1, b = 3n$로 두자. ($a\equiv 2 \pmod 3$이면, $\alpha$로 $-alpha$로 바꾼다)
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다음이 성립한다
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\Bigg(\frac{\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{1-a-b}{3}= \omega^{-m-n},\;\;\;
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\Bigg(\frac{1-\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{a-1}{3}= \omega^m,\;\;\;
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\Bigg(\frac{3}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{b}{3}= \omega^n.
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==예==
 
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* [[이차형식 x^2+xy+y^2]]
 
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* [[이차형식 x^2+27y^2]]
 
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* [[숫자 23과 다항식 x³-x+1]]
 
* [[숫자 23과 다항식 x³-x+1]]
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/lec12.pdf
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_reciprocity
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[[분류:정수론]]

2014년 1월 15일 (수) 03:22 판

개요

  • 3차의 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 분해할 때 나타나는 현상의 이해


아이젠슈타인 3차 상호법칙

거듭제곱 잉여 부호

  • $n\geq 2$ : 자연수
  • $K$ : $n$의 단위근 $\zeta_n$이 속해 있는 수체
  • \(\mathcal{O}_K\) : $K$의 정수환 \(\zeta_n\in\mathcal{O}_K\)
  • \(\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K \) : $n \not \in \mathfrak{p}$을 만족하는 prime ideal
  • $\mathrm{N} \mathfrak{p} = |\mathcal{O}_k / \mathfrak{p}|$, \(\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}\)을 만족한다
  • 페르마의 소정리 \(\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},\)이면 다음이 성립한다

\[\alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p} }. \]

  • 적당한 $s\in \mathbb{Z}$에 대하여 다음이 성립한다

$$ \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\pmod{\mathfrak{p} } $$

  • 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상을 다음과 같이 정의

$$ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}. </math> $$

용어와 기호

  • $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$
  • $\alpha\in \mathbb{Z}[\omega]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \pmod 3$을 만족하면, $\alpha$를 primary라고 부른다
    • 이는 $\alpha=a+b\omega, 3\nmid a, 3|b$와 동치


상호법칙

정리
  • $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[\omega]$가 primary라 하자.

\[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_3 = \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_3. \] 또한, $\alpha = a + b\omega$가 primary이고 $a = 3m + 1, b = 3n$로 두자. ($a\equiv 2 \pmod 3$이면, $\alpha$로 $-alpha$로 바꾼다) 다음이 성립한다 \[ \Bigg(\frac{\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{1-a-b}{3}= \omega^{-m-n},\;\;\; \Bigg(\frac{1-\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{a-1}{3}= \omega^m,\;\;\; \Bigg(\frac{3}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{b}{3}= \omega^n. \]


예


리뷰, 에세이, 강의노트


사전 형태의 자료

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