근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식

개요

• 방정식의 근의 거듭제곱의 합을, 방정식의 계수를 통해 표현하는 공식.
• 다항식의 판별식(discriminant) 을 구하는데 사용할 수 있다

 

2차방정식의 경우

• 2차방정식의 두 근이 \(x_1,x_2\)로 주어진다고 할 때, 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다\[\begin{array}{lll} x_1+x_2 & = & x_1+x_2 \\ x_1^2+x_2^2 & = & \left(x_1+x_2\right){}^2-2 x_1 x_2 \\ x_1^3+x_2^3 & = & \left(x_1+x_2\right){}^3-3 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right) \\ x_1^4+x_2^4 & = & \left(x_1+x_2\right){}^4-4 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^2+2 x_1^2 x_2^2 \\ x_1^5+x_2^5 & = & \left(x_1+x_2\right){}^5-5 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^3+5 x_1^2 x_2^2 \left(x_1+x_2\right) \end{array}\]
  
• 우변에 있는 식은 방정식의 계수로 표현할 수 있다
• 뉴턴의 항등식은 이러한 식을 고차방정식으로 일반화한다

 

 

3차방정식의 경우

• 3차방정식의 두 근이 \(x_1,x_2,x_3\)로 주어진다고 하자. 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다\[\begin{array}{lll} x_1+x_2+x_3 & = & x_1+x_2+x_3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2-2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \\ x_1^3+x_2^3+x_3^3 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-3 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right)+3 x_1 x_2 x_3 \\ x_1^4+x_2^4+x_3^4 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^4-4 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2+4 x_1 x_2 x_3 \left(x_1+x_2+x_3\right)+2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right){}^2 \end{array}\]
  

 

 

 

뉴턴-지라드 다항식

• \(\sigma_i\) 를 i-거듭제곱의 합, \(\Pi_i\) 를 i-차 초등대칭다항식(elementary symmetric polynomial)이라 두자

• 초등대칭다항식과 거듭제곱의 합 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립한다\[\begin{array}{l} \sigma _1-\Pi _1=0 \\ 2 \Pi _2-\Pi _1 \sigma _1+\sigma _2=0 \\ -3 \Pi _3+\Pi _2 \sigma _1-\Pi _1 \sigma _2+\sigma _3=0 \\ 4 \Pi _4-\Pi _3 \sigma _1+\Pi _2 \sigma _2-\Pi _1 \sigma _3+\sigma _4=0 \\ -5 \Pi _5+\Pi _4 \sigma _1-\Pi _3 \sigma _2+\Pi _2 \sigma _3-\Pi _1 \sigma _4+\sigma _5=0 \\ 6 \Pi _6-\Pi _5 \sigma _1+\Pi _4 \sigma _2-\Pi _3 \sigma _3+\Pi _2 \sigma _4-\Pi _1 \sigma _5+\sigma _6=0 \\ -7 \Pi _7+\Pi _6 \sigma _1-\Pi _5 \sigma _2+\Pi _4 \sigma _3-\Pi _3 \sigma _4+\Pi _2 \sigma _5-\Pi _1 \sigma _6+\sigma _7=0 \end{array}\]
  

 

 

거듭제곱의 합을 초등대칭다항식으로 표현하기

\(\begin{array}{l} \sigma _1=\Pi _1 \\ \sigma _2=\Pi _1^2-2 \Pi _2 \\ \sigma _3=\Pi _1^3-3 \Pi _1 \Pi _2+3 \Pi _3 \\ \sigma _4=\Pi _1^4-4 \Pi _1^2 \Pi _2+2 \Pi _2^2+4 \Pi _1 \Pi _3-4 \Pi _4 \\ \sigma _5=\Pi _1^5-5 \Pi _1^3 \Pi _2+5 \Pi _1 \Pi _2^2+5 \Pi _1^2 \Pi _3-5 \Pi _2 \Pi _3-5 \Pi _1 \Pi _4+5 \Pi _5 \end{array}\)

 

 

슈르 다항식

• 대칭다항식을 거듭제곱을 통해 표현할 수 있다\[\begin{array}{l} \Pi _1=\sigma _1 \\ \Pi _2=\frac{1}{2} \left(\sigma _1^2-\sigma _2\right) \\ \Pi _3=\frac{1}{6} \left(\sigma _1^3-3 \sigma _1 \sigma _2+2 \sigma _3\right) \\ \Pi _4=\frac{1}{24} \left(\sigma _1^4-6 \sigma _1^2 \sigma _2+3 \sigma _2^2+8 \sigma _1 \sigma _3-6 \sigma _4\right) \end{array}\]
  

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 근과 계수와의 관계
• 추상대수학

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWt0MG5GaGJzMnM/edit

 

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_identities

 

관련논문

• Newton's Identities and the Laplace Transform
• Newton's Identities
  • D. G. Mead, The American Mathematical Monthly, Vol. 99, No. 8 (Oct., 1992), pp. 749-751
• Newton's Identities Once Again!
  • Ján Mináč, The American Mathematical Monthly, Vol. 110, No. 3 (Mar., 2003), pp. 232-234