"근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식"의 두 판 사이의 차이

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===2차방정식의 경우===
 
===2차방정식의 경우===
  
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*  2차방정식의 두 근이 <math>x_1,x_2</math>로 주어진다고 할 때, 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다:<math>\begin{array}{lll}  x_1+x_2 & = & x_1+x_2 \\  x_1^2+x_2^2 & = & \left(x_1+x_2\right){}^2-2 x_1 x_2 \\  x_1^3+x_2^3 & = & \left(x_1+x_2\right){}^3-3 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right) \\  x_1^4+x_2^4 & = & \left(x_1+x_2\right){}^4-4 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^2+2 x_1^2 x_2^2 \\  x_1^5+x_2^5 & = & \left(x_1+x_2\right){}^5-5 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^3+5 x_1^2 x_2^2 \left(x_1+x_2\right) \end{array}</math><br>
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*  2차방정식의 두 근이 <math>x_1,x_2</math>로 주어진다고 할 때, 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다:<math>\begin{array}{lll}  x_1+x_2 & = & x_1+x_2 \\  x_1^2+x_2^2 & = & \left(x_1+x_2\right){}^2-2 x_1 x_2 \\  x_1^3+x_2^3 & = & \left(x_1+x_2\right){}^3-3 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right) \\  x_1^4+x_2^4 & = & \left(x_1+x_2\right){}^4-4 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^2+2 x_1^2 x_2^2 \\  x_1^5+x_2^5 & = & \left(x_1+x_2\right){}^5-5 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^3+5 x_1^2 x_2^2 \left(x_1+x_2\right) \end{array}</math>
 
* 우변에 있는 식은 [[근과 계수와의 관계]] 다항식의 계수로 표현할 수 있다
 
* 우변에 있는 식은 [[근과 계수와의 관계]] 다항식의 계수로 표현할 수 있다
  
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===3차방정식의 경우===
 
===3차방정식의 경우===
  
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*  3차방정식의 두 근이 <math>x_1,x_2,x_3</math>로 주어진다고 하자. 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다:<math>\begin{array}{lll}  x_1+x_2+x_3 & = & x_1+x_2+x_3 \\  x_1^2+x_2^2+x_3^2 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2-2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \\  x_1^3+x_2^3+x_3^3 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-3 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right)+3 x_1 x_2 x_3 \\  x_1^4+x_2^4+x_3^4 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^4-4 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2+4 x_1 x_2 x_3 \left(x_1+x_2+x_3\right)+2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right){}^2 \end{array}</math><br>
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*  3차방정식의 두 근이 <math>x_1,x_2,x_3</math>로 주어진다고 하자. 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다:<math>\begin{array}{lll}  x_1+x_2+x_3 & = & x_1+x_2+x_3 \\  x_1^2+x_2^2+x_3^2 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2-2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \\  x_1^3+x_2^3+x_3^3 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-3 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right)+3 x_1 x_2 x_3 \\  x_1^4+x_2^4+x_3^4 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^4-4 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2+4 x_1 x_2 x_3 \left(x_1+x_2+x_3\right)+2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right){}^2 \end{array}</math>
  
  
  
 
==뉴턴-지라드 항등식==
 
==뉴턴-지라드 항등식==
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* <math>\sigma_i</math> 를 $i$-차 거듭제곱의 합, <math>\Pi_i</math> 를 $i$-차 [[초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)]]이라 두자
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* <math>\Psi_i</math> 를 $i$-차 거듭제곱의 합, <math>\Lambda_i</math> 를 $i$-차 [[초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)]]이라 두자
 
* 초등대칭다항식과 거듭제곱의 합 사이에 성립하는 다음 항등식을 뉴턴-지라드 항등식이라 한다
 
* 초등대칭다항식과 거듭제곱의 합 사이에 성립하는 다음 항등식을 뉴턴-지라드 항등식이라 한다
 
;정리
 
;정리
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:<math>\begin{array}{l}  \sigma _1-\Pi _1=0 \\  2 \Pi _2-\Pi _1 \sigma _1+\sigma _2=0 \\  -3 \Pi _3+\Pi _2 \sigma _1-\Pi _1 \sigma _2+\sigma _3=0 \\  4 \Pi _4-\Pi _3 \sigma _1+\Pi _2 \sigma _2-\Pi _1 \sigma _3+\sigma _4=0 \\  -5 \Pi _5+\Pi _4 \sigma _1-\Pi _3 \sigma _2+\Pi _2 \sigma _3-\Pi _1 \sigma _4+\sigma _5=0 \\  6 \Pi _6-\Pi _5 \sigma _1+\Pi _4 \sigma _2-\Pi _3 \sigma _3+\Pi _2 \sigma _4-\Pi _1 \sigma _5+\sigma _6=0 \\  -7 \Pi _7+\Pi _6 \sigma _1-\Pi _5 \sigma _2+\Pi _4 \sigma _3-\Pi _3 \sigma _4+\Pi _2 \sigma _5-\Pi _1 \sigma _6+\sigma _7=0 \end{array}
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:<math>
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\begin{array}{l}  \Psi _1-\Lambda _1=0 \\  2 \Lambda _2-\Lambda _1 \Psi _1+\Psi _2=0 \\  -3 \Lambda _3+\Lambda _2 \Psi _1-\Lambda _1 \Psi _2+\Psi _3=0 \\  4 \Lambda _4-\Lambda _3 \Psi _1+\Lambda _2 \Psi _2-\Lambda _1 \Psi _3+\Psi _4=0 \\  -5 \Lambda _5+\Lambda _4 \Psi _1-\Lambda _3 \Psi _2+\Lambda _2 \Psi _3-\Lambda _1 \Psi _4+\Psi _5=0 \\  6 \Lambda _6-\Lambda _5 \Psi _1+\Lambda _4 \Psi _2-\Lambda _3 \Psi _3+\Lambda _2 \Psi _4-\Lambda _1 \Psi _5+\Psi _6=0 \\  -7 \Lambda _7+\Lambda _6 \Psi _1-\Lambda _5 \Psi _2+\Lambda _4 \Psi _3-\Lambda _3 \Psi _4+\Lambda _2 \Psi _5-\Lambda _1 \Psi _6+\Psi _7=0 \\
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\cdots
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\end{array}
 
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===거듭제곱 대칭 다항식을 초등 대칭 다항식으로 표현하기===
 
===거듭제곱 대칭 다항식을 초등 대칭 다항식으로 표현하기===
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* $\sigma_i$를 $\Pi_i$를 이용하여 표현할 수 있다
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* $\Psi_i$를 $\Lambda_i$를 이용하여 표현할 수 있다
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:<math>\begin{array}{l}  \sigma _1=\Pi _1 \\  \sigma _2=\Pi _1^2-2 \Pi _2 \\  \sigma _3=\Pi _1^3-3 \Pi _1 \Pi _2+3 \Pi _3 \\  \sigma _4=\Pi _1^4-4 \Pi _1^2 \Pi _2+2 \Pi _2^2+4 \Pi _1 \Pi _3-4 \Pi _4 \\  \sigma _5=\Pi _1^5-5 \Pi _1^3 \Pi _2+5 \Pi _1 \Pi _2^2+5 \Pi _1^2 \Pi _3-5 \Pi _2 \Pi _3-5 \Pi _1 \Pi _4+5 \Pi _5 \end{array}</math>
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:<math>\begin{array}{l}  \Psi _1=\Lambda _1 \\  \Psi _2=\Lambda _1^2-2 \Lambda _2 \\  \Psi _3=\Lambda _1^3-3 \Lambda _1 \Lambda _2+3 \Lambda _3 \\  \Psi _4=\Lambda _1^4-4 \Lambda _1^2 \Lambda _2+2 \Lambda _2^2+4 \Lambda _1 \Lambda _3-4 \Lambda _4 \\  \Psi _5=\Lambda _1^5-5 \Lambda _1^3 \Lambda _2+5 \Lambda _1 \Lambda _2^2+5 \Lambda _1^2 \Lambda _3-5 \Lambda _2 \Lambda _3-5 \Lambda _1 \Lambda _4+5 \Lambda _5 \end{array}</math>
  
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===초등 대칭 다항식을 거듭제곱 대칭 다항식으로 표현하기===
 
===초등 대칭 다항식을 거듭제곱 대칭 다항식으로 표현하기===
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* $\Pi_i$를 $\sigma_i$를 이용하여 표현할 수 있다
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* $\Lambda_i$를 $\Psi_i$를 이용하여 표현할 수 있다
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:<math>\begin{array}{l}  \Pi _1=\sigma _1 \\  \Pi _2=\frac{1}{2} \left(\sigma _1^2-\sigma _2\right) \\  \Pi _3=\frac{1}{6} \left(\sigma _1^3-3 \sigma _1 \sigma _2+2 \sigma _3\right) \\  \Pi _4=\frac{1}{24} \left(\sigma _1^4-6 \sigma _1^2 \sigma _2+3 \sigma _2^2+8 \sigma _1 \sigma _3-6 \sigma _4\right) \end{array}</math>
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:<math>\begin{array}{l}  \Lambda _1=\Psi _1 \\  \Lambda _2=\frac{1}{2} \left(\Psi _1^2-\Psi _2\right) \\  \Lambda _3=\frac{1}{6} \left(\Psi _1^3-3 \Psi _1 \Psi _2+2 \Psi _3\right) \\  \Lambda _4=\frac{1}{24} \left(\Psi _1^4-6 \Psi _1^2 \Psi _2+3 \Psi _2^2+8 \Psi _1 \Psi _3-6 \Psi _4\right) \end{array}</math>
  
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==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
 
==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
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* [[추상대수학]]
 
* [[추상대수학]]
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWt0MG5GaGJzMnM/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWt0MG5GaGJzMnM/edit
  
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==사전형태의 자료==
 
==사전형태의 자료==
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_identities
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_identities
  
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==관련논문==
 
==관련논문==

2014년 1월 20일 (월) 07:18 판

개요


예

  • 뉴턴-지라드 항등식은 아래와 같은 종류의 식을 고차로 일반화한다

2차방정식의 경우

  • 2차방정식의 두 근이 \(x_1,x_2\)로 주어진다고 할 때, 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다\[\begin{array}{lll} x_1+x_2 & = & x_1+x_2 \\ x_1^2+x_2^2 & = & \left(x_1+x_2\right){}^2-2 x_1 x_2 \\ x_1^3+x_2^3 & = & \left(x_1+x_2\right){}^3-3 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right) \\ x_1^4+x_2^4 & = & \left(x_1+x_2\right){}^4-4 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^2+2 x_1^2 x_2^2 \\ x_1^5+x_2^5 & = & \left(x_1+x_2\right){}^5-5 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^3+5 x_1^2 x_2^2 \left(x_1+x_2\right) \end{array}\]
  • 우변에 있는 식은 근과 계수와의 관계 다항식의 계수로 표현할 수 있다


3차방정식의 경우

  • 3차방정식의 두 근이 \(x_1,x_2,x_3\)로 주어진다고 하자. 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다\[\begin{array}{lll} x_1+x_2+x_3 & = & x_1+x_2+x_3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2-2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \\ x_1^3+x_2^3+x_3^3 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-3 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right)+3 x_1 x_2 x_3 \\ x_1^4+x_2^4+x_3^4 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^4-4 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2+4 x_1 x_2 x_3 \left(x_1+x_2+x_3\right)+2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right){}^2 \end{array}\]


뉴턴-지라드 항등식

정리

\[ \begin{array}{l} \Psi _1-\Lambda _1=0 \\ 2 \Lambda _2-\Lambda _1 \Psi _1+\Psi _2=0 \\ -3 \Lambda _3+\Lambda _2 \Psi _1-\Lambda _1 \Psi _2+\Psi _3=0 \\ 4 \Lambda _4-\Lambda _3 \Psi _1+\Lambda _2 \Psi _2-\Lambda _1 \Psi _3+\Psi _4=0 \\ -5 \Lambda _5+\Lambda _4 \Psi _1-\Lambda _3 \Psi _2+\Lambda _2 \Psi _3-\Lambda _1 \Psi _4+\Psi _5=0 \\ 6 \Lambda _6-\Lambda _5 \Psi _1+\Lambda _4 \Psi _2-\Lambda _3 \Psi _3+\Lambda _2 \Psi _4-\Lambda _1 \Psi _5+\Psi _6=0 \\ -7 \Lambda _7+\Lambda _6 \Psi _1-\Lambda _5 \Psi _2+\Lambda _4 \Psi _3-\Lambda _3 \Psi _4+\Lambda _2 \Psi _5-\Lambda _1 \Psi _6+\Psi _7=0 \\ \cdots \end{array} \]


거듭제곱 대칭 다항식을 초등 대칭 다항식으로 표현하기

  • $\Psi_i$를 $\Lambda_i$를 이용하여 표현할 수 있다

\[\begin{array}{l} \Psi _1=\Lambda _1 \\ \Psi _2=\Lambda _1^2-2 \Lambda _2 \\ \Psi _3=\Lambda _1^3-3 \Lambda _1 \Lambda _2+3 \Lambda _3 \\ \Psi _4=\Lambda _1^4-4 \Lambda _1^2 \Lambda _2+2 \Lambda _2^2+4 \Lambda _1 \Lambda _3-4 \Lambda _4 \\ \Psi _5=\Lambda _1^5-5 \Lambda _1^3 \Lambda _2+5 \Lambda _1 \Lambda _2^2+5 \Lambda _1^2 \Lambda _3-5 \Lambda _2 \Lambda _3-5 \Lambda _1 \Lambda _4+5 \Lambda _5 \end{array}\]


초등 대칭 다항식을 거듭제곱 대칭 다항식으로 표현하기

  • $\Lambda_i$를 $\Psi_i$를 이용하여 표현할 수 있다

\[\begin{array}{l} \Lambda _1=\Psi _1 \\ \Lambda _2=\frac{1}{2} \left(\Psi _1^2-\Psi _2\right) \\ \Lambda _3=\frac{1}{6} \left(\Psi _1^3-3 \Psi _1 \Psi _2+2 \Psi _3\right) \\ \Lambda _4=\frac{1}{24} \left(\Psi _1^4-6 \Psi _1^2 \Psi _2+3 \Psi _2^2+8 \Psi _1 \Psi _3-6 \Psi _4\right) \end{array}\]


관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전형태의 자료


관련논문

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