"실계수 대칭행렬의 대각화"의 두 판 사이의 차이

2014년 1월 25일 (토) 02:51 판

개요

실계수 대칭행렬의 spectral 정리
실계수 이차형식의 분류
이차곡선과 회전변환
대칭행렬은 실수계수 에르미트 행렬이다 (에르미트 행렬(Hermitian matrix)과 대각화 항목 참조)

spectral 정리

$n\times n$ 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
- 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
- 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
- 행렬 A는 직교대각화 가능하다

실계수 이차형식의 분류

$n\times n$ 대칭행렬 $A$로부터 이차형식 $Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ 를 얻을 수 있다
실계수 이차형식을 크게 다음과 같이 분류한다
- 양의 정부호(positive definite) 모든 $\mathbf{x}\neq 0$에 대하여 $Q(\mathbf{x})>0$가 성립
- 음의 정부호(negative definite) 모든 $\mathbf{x}\neq 0$에 대하여 $Q(\mathbf{x})<0$가 성립
- indefinite $Q(\mathbf{x})$가 양수값, 음수값을 모두 가질 수 있는 경우
대칭 겹선형 형식과 이차형식

예

$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)$ 의 직교대각화

$P=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$ 의 각 열은 A의 고유벡터가 된다. P는 직교행렬, 즉 $P^T=P^{-1}$ 을 만족시킨다.

$D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$

예

$A=\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 4 \\ -2 & 6 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{array} \right)$ 의 직교대각화

$P=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{array} \right)$ 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 $P^T=P^{-1}$ 을 만족시킨다.

$D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right)$

판별식 함수

$b^2-ac$는 이차형식으로, 다음의 대칭행렬에 대응된다

$$ A=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

$P=\left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right)$ 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 $P^T=P^{-1}$ 을 만족시킨다.

$D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)$

이차형식으로서의 행렬식

$2\times 2$ 행렬의 행렬식 $ad-bc$를 이차형식으로 생각할 때, 이는 다음 대칭행렬에 대응된다

$$ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

이를 대각화하면 다음을 얻는다

$$ \left( \begin{array}{cccc} -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right) $$

역사

메모

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxT2gybGJBS1lOU0k/edit

사전 형태의 자료

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 ==spectral 정리==
-* <math>n\times n</math> 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다<br>
+* <math>n\times n</math> 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
 ** 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
 ** 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
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 ==실계수 이차형식의 분류==
-* <math>n\times n</math> 대칭행렬 A로부터 이차형식 <math>Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}</math> 를 얻을 수 있다
+* <math>n\times n</math> 대칭행렬 $A$로부터 이차형식 <math>Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}</math> 를 얻을 수 있다
 *  실계수 이차형식을 크게 다음과 같이 분류한다<br>
 ** 양의 정부호(positive definite) 모든 <math>\mathbf{x}\neq 0</math>에 대하여 <math>Q(\mathbf{x})>0</math>가 성립
 ** 음의 정부호(negative definite) 모든 <math>\mathbf{x}\neq 0</math>에 대하여 <math>Q(\mathbf{x})<0</math>가 성립
 ** indefinite <math>Q(\mathbf{x})</math>가 양수값, 음수값을 모두 가질 수 있는 경우
-* [[이차형식]]
+* [[대칭 겹선형 형식과 이차형식]]
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 ==사전 형태의 자료==
+* http://ko.wikipedia.org/wiki/대칭행렬
+* http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Symmetric_matrix
-* http://ko.wikipedia.org/wiki/
-* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8C%80%EC%B9%AD%ED%96%89%EB%A0%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/대칭행렬]
-* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics]
-* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
-==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 [[분류:선형대수학]]