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==적분가능 모형== | ==적분가능 모형== | ||
− | * 고전/양자 역학에서의 적분가능 모형은 교환법칙을 만족시키는 적분들 또는 보존량의 존재를 특징으로 함 | + | * 고전/양자 역학에서의 적분가능 모형은 교환법칙을 만족시키는 적분들 또는 보존량의 존재를 특징으로 함 |
− | * 자유도가 N으로 주어진 계 | + | * 자유도가 N으로 주어진 계 |
− | * 해밀토니안 <math>H(q,p)</math | + | * 해밀토니안 <math>H(q,p)</math> |
− | * 위치 변수 <math>q=(q_ 1,\cdots,q_N)</math | + | * 위치 변수 <math>q=(q_ 1,\cdots,q_N)</math> |
− | * 운동량 변수 <math>p=(p_ 1,\cdots,p_N)</math | + | * 운동량 변수 <math>p=(p_ 1,\cdots,p_N)</math> |
− | * 운동방정식:<math>\dot{q}_i=\partial H/\partial p_i</math>:<math>\dot{p}_i=-\partial H/\partial q_i</math | + | * 운동방정식:<math>\dot{q}_i=\partial H/\partial p_i</math>:<math>\dot{p}_i=-\partial H/\partial q_i</math> |
* N개의 독립인 보존량(또는 제1적분) <math>L_ 1(x),\cdots,L_N(x)</math>이 필요하다 | * N개의 독립인 보존량(또는 제1적분) <math>L_ 1(x),\cdots,L_N(x)</math>이 필요하다 | ||
− | * 포아송 괄호:<math>f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)</math>:<math>\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]</math | + | * 포아송 괄호:<math>f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)</math>:<math>\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]</math> |
− | * L과 H의 포아송 괄호 <math>\{L_i,H\}</math | + | * L과 H의 포아송 괄호 <math>\{L_i,H\}</math> |
− | * 보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다 | + | * 보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다 |
− | * action-angle 변수 | + | $$ |
− | ** 새로운 변수action 변수 <math>I</math>, angle 변수 <math>{\theta}</math> 를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 <math>H(I,\theta)</math | + | \begin{array}{c} |
− | ** 다음 조건을 만족시켜야 한다 | + | \{L_i,H\}=0 \\ |
− | + | \{L_i,L_j\}=0 | |
− | + | \end{array} | |
− | + | $$ | |
− | + | * action-angle 변수 | |
− | + | ** 새로운 변수action 변수 <math>I</math>, angle 변수 <math>{\theta}</math> 를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 <math>H(I,\theta)</math> | |
+ | ** 다음 조건을 만족시켜야 한다 | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{array}{c} | ||
+ | \dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega \\ | ||
+ | \partial H/\partial \theta=0 | ||
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+ | $$ | ||
==자유낙하하는 물체== | ==자유낙하하는 물체== | ||
− | * 해밀토니안:<math>H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq</math | + | * 해밀토니안:<math>H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq</math> g는 중력가속도. m은 입자의 질량 |
− | * 해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg</math | + | * 해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg</math> |
− | * 운동방정식:<math>\ddot{q}=-g</math | + | * 운동방정식:<math>\ddot{q}=-g</math> |
* 보존량<math>E=L_ 1(q,p)=H(q,p)</math>은 에너지 | * 보존량<math>E=L_ 1(q,p)=H(q,p)</math>은 에너지 | ||
− | + | :<math>\dot{E}=\frac{p\dot{p}}{m}+mg\dot{q}=\frac{p(-mg)}{m}+mg\frac{p}{m}=0</math> | |
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==단순조화진동자(simple harmonic oscillator)== | ==단순조화진동자(simple harmonic oscillator)== | ||
* http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%\9E%90 | * http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%\9E%90 | ||
− | * 질량 m, 각속도 <math>\omega</math> 인 조화진동자 | + | * 질량 m, 각속도 <math>\omega</math> 인 조화진동자 |
− | * 해밀토니안:<math>H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2</math | + | * 해밀토니안:<math>H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2</math> |
− | * 해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q</math | + | * 해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q</math> |
− | * 운동방정식:<math>\ddot{q}=-\omega^{2} q</math> 즉 <math>\ddot{q}+\omega^{2} q=0</math | + | * 운동방정식:<math>\ddot{q}=-\omega^{2} q</math> 즉 <math>\ddot{q}+\omega^{2} q=0</math> |
* 보존량 <math>L_ 1(q,p)=H(q,p)</math> | * 보존량 <math>L_ 1(q,p)=H(q,p)</math> | ||
− | * action-angle 변수 http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables | + | * action-angle 변수 http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables action 변수 <math>I</math>, <math>H=\omega I</math> 따라서 <math>\partial H/\partial I=\omega</math> angle 변수 <math>{\theta}</math>, <math>\dot{\theta}=\omega</math> 따라서 <math>\theta = \omega t+\theta_0</math> |
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==단진자== | ==단진자== | ||
− | * 해밀토니안:<math>H(p_{\theta},\theta)=\frac{p_ {\theta}^2}{2ml^2}-mgl\cos\theta</math | + | * 해밀토니안:<math>H(p_{\theta},\theta)=\frac{p_ {\theta}^2}{2ml^2}-mgl\cos\theta</math> |
− | * 해밀턴 방정식:<math>\dot{\theta}=\partial H/\partial p_{\theta}=\frac{p_{\theta}}{ml^2}</math>:<math>\dot{p_{\theta}}=-\partial H/\partial \theta=mgl\sin\theta</math | + | * 해밀턴 방정식:<math>\dot{\theta}=\partial H/\partial p_{\theta}=\frac{p_{\theta}}{ml^2}</math>:<math>\dot{p_{\theta}}=-\partial H/\partial \theta=mgl\sin\theta</math> |
− | * 운동방정식:<math>\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin\theta=0</math | + | * 운동방정식:<math>\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin\theta=0</math> |
− | * 보존량:<math>\frac{H(p_{\theta},\theta)}{ml^2}</math | + | * 보존량:<math>\frac{H(p_{\theta},\theta)}{ml^2}</math> |
− | * action-angle 변수 http://www.maths.uq.edu.au/courses/MATH4104/m4104sec4.pdf | + | * action-angle 변수 http://www.maths.uq.edu.au/courses/MATH4104/m4104sec4.pdf |
− | * http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285896.pdf | + | * http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285896.pdf |
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* [[곡면 위의 측지선]] | * [[곡면 위의 측지선]] | ||
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==링크== | ==링크== | ||
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==메모== | ==메모== | ||
− | * The 2 body problem (Kepler problem, Coulomb problem) | + | * The 2 body problem (Kepler problem, Coulomb problem) |
− | * the simple pendulum | + | * the simple pendulum |
− | * the double pendulum | + | * the double pendulum |
− | * the free rigid body | + | * the free rigid body |
− | * the rigid body with a fixed point(= tops - Euler top, Lagrange top,Kovaleskaya top) | + | * the rigid body with a fixed point(= tops - Euler top, Lagrange top,Kovaleskaya top) |
− | ** [[Kovalevskaya Top]] | + | ** [[Kovalevskaya Top]] |
− | * the harmonic oscillator | + | * the harmonic oscillator |
− | * the an-harmonic oscillator in 2 dim | + | * the an-harmonic oscillator in 2 dim |
− | * the motion of a particle in a central potential | + | * the motion of a particle in a central potential |
− | * the motion on a sphere with a harmonic potential | + | * the motion on a sphere with a harmonic potential |
− | * the geodesic motion on an ellipsoid (Jacobi\[CloseCurlyQuote]s geodesic flow on an ellipsoid) | + | * the geodesic motion on an ellipsoid (Jacobi\[CloseCurlyQuote]s geodesic flow on an ellipsoid) |
− | * the geodesic motion on a surface of revolution | + | * the geodesic motion on a surface of revolution |
− | * the geodesic motion on a torus | + | * the geodesic motion on a torus |
− | * the geodesic motion on a quartic | + | * the geodesic motion on a quartic |
− | * the geodesic motion on SO(3) | + | * the geodesic motion on SO(3) |
− | * the Moser system | + | * the Moser system |
− | * the Calogero-Sutherland systems | + | * the Calogero-Sutherland systems |
− | * the Calogero-Moser systems | + | * the Calogero-Moser systems |
− | * the Toda lattices (periodic, non-periodic, non-abelian) | + | * the Toda lattices (periodic, non-periodic, non-abelian) |
− | * the Clebsh rigid body in an ideal fluid, | + | * the Clebsh rigid body in an ideal fluid, |
− | * the n-dimensional rigid body | + | * the n-dimensional rigid body |
− | * the Garnier system | + | * the Garnier system |
− | * the Gaudin systems | + | * the Gaudin systems |
− | * KdV equation | + | * KdV equation |
+ | |||
+ | |||
+ | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
+ | * http://mathematica.stackexchange.com/questions/41850/how-to-define-the-poisson-bracket-in-mathematica | ||
[[분류:적분가능모형]] | [[분류:적분가능모형]] | ||
[[분류:수리물리학]] | [[분류:수리물리학]] |
2014년 2월 7일 (금) 01:09 판
적분가능 모형
- 고전/양자 역학에서의 적분가능 모형은 교환법칙을 만족시키는 적분들 또는 보존량의 존재를 특징으로 함
- 자유도가 N으로 주어진 계
- 해밀토니안 \(H(q,p)\)
- 위치 변수 \(q=(q_ 1,\cdots,q_N)\)
- 운동량 변수 \(p=(p_ 1,\cdots,p_N)\)
- 운동방정식\[\dot{q}_i=\partial H/\partial p_i\]\[\dot{p}_i=-\partial H/\partial q_i\]
- N개의 독립인 보존량(또는 제1적분) \(L_ 1(x),\cdots,L_N(x)\)이 필요하다
- 포아송 괄호\[f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)\]\[\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]\]
- L과 H의 포아송 괄호 \(\{L_i,H\}\)
- 보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다
$$ \begin{array}{c} \{L_i,H\}=0 \\ \{L_i,L_j\}=0 \end{array} $$
- action-angle 변수
- 새로운 변수action 변수 \(I\), angle 변수 \({\theta}\) 를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 \(H(I,\theta)\)
- 다음 조건을 만족시켜야 한다
$$ \begin{array}{c} \dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega \\ \partial H/\partial \theta=0 \end{array} $$
자유낙하하는 물체
- 해밀토니안\[H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq\] g는 중력가속도. m은 입자의 질량
- 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg\]
- 운동방정식\[\ddot{q}=-g\]
- 보존량\(E=L_ 1(q,p)=H(q,p)\)은 에너지
\[\dot{E}=\frac{p\dot{p}}{m}+mg\dot{q}=\frac{p(-mg)}{m}+mg\frac{p}{m}=0\]
단순조화진동자(simple harmonic oscillator)
- http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%\9E%90
- 질량 m, 각속도 \(\omega\) 인 조화진동자
- 해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\]
- 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
- 운동방정식\[\ddot{q}=-\omega^{2} q\] 즉 \(\ddot{q}+\omega^{2} q=0\)
- 보존량 \(L_ 1(q,p)=H(q,p)\)
- action-angle 변수 http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables action 변수 \(I\), \(H=\omega I\) 따라서 \(\partial H/\partial I=\omega\) angle 변수 \({\theta}\), \(\dot{\theta}=\omega\) 따라서 \(\theta = \omega t+\theta_0\)
단진자
- 해밀토니안\[H(p_{\theta},\theta)=\frac{p_ {\theta}^2}{2ml^2}-mgl\cos\theta\]
- 해밀턴 방정식\[\dot{\theta}=\partial H/\partial p_{\theta}=\frac{p_{\theta}}{ml^2}\]\[\dot{p_{\theta}}=-\partial H/\partial \theta=mgl\sin\theta\]
- 운동방정식\[\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin\theta=0\]
- 보존량\[\frac{H(p_{\theta},\theta)}{ml^2}\]
- action-angle 변수 http://www.maths.uq.edu.au/courses/MATH4104/m4104sec4.pdf
- http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285896.pdf
the an-harmonic oscillator in 2 dim
이체 문제 (two-body problem)
geodesic motion on an ellipsoid
헤논-헤일스 방정식 (Hénon-Heiles Equation)
링크
- http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange,_Euler _and _Kovalevskaya _tops
- Mircea PUTA and Constantin VOICU, Old and New Aspects in the Lagrange Top Dynamics http://www.esi.ac.at/preprints/esi1363.ps
- A. Lesfari, "Completely integrable systems: Jacobi's heritage," Journal of Geometry and Physics 31, no. 4 (October 1999): 265-286. http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440(99)00015-7
메모
- The 2 body problem (Kepler problem, Coulomb problem)
- the simple pendulum
- the double pendulum
- the free rigid body
- the rigid body with a fixed point(= tops - Euler top, Lagrange top,Kovaleskaya top)
- the harmonic oscillator
- the an-harmonic oscillator in 2 dim
- the motion of a particle in a central potential
- the motion on a sphere with a harmonic potential
- the geodesic motion on an ellipsoid (Jacobi\[CloseCurlyQuote]s geodesic flow on an ellipsoid)
- the geodesic motion on a surface of revolution
- the geodesic motion on a torus
- the geodesic motion on a quartic
- the geodesic motion on SO(3)
- the Moser system
- the Calogero-Sutherland systems
- the Calogero-Moser systems
- the Toda lattices (periodic, non-periodic, non-abelian)
- the Clebsh rigid body in an ideal fluid,
- the n-dimensional rigid body
- the Garnier system
- the Gaudin systems
- KdV equation