"스미스-민코프스키-지겔 질량 공식"의 두 판 사이의 차이
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* http://math.berkeley.edu/~reb/papers/siegel/ | * http://math.berkeley.edu/~reb/papers/siegel/ | ||
2014년 4월 22일 (화) 08:40 판
개요
- $n\geq 2$ 자연수
- $L$ : 양의 정부호인 $n$ 차원 정수계수 이차형식
- ${\rm gen}(L)$ : $L$과 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
- $f$의 질량 $m(f)$를 다음과 같이 정의
$$ m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|} $$
- 정리 (스미스-민코프스키-지겔)
다음이 성립한다 \[m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)\] 여기서 \[m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}\]
예
- n차원 even unimodular 격자의 경우의 질량 공식은 다음과 같이 표현된다
\[\sum_{\Lambda}{1\over|\operatorname{Aut}(\Lambda)|} = {|B_{n/2}|\over n}\prod_{1\le j< n/2}{|B_{2j}|\over 4j}\]
여기서 $B_k$는 베르누이 수
- 8차원 even unimodular 격자는 E8격자 뿐이이며 질량 공식의 우변은 다음과 같다
$$ \frac{1}{696729600} $$
- 696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 $W(E_8)$의 크기이기도 하다
메모
- Proof of a simple case of the Siegel-Weil formula
- Siegel's integral
- Siegel-Weil Formulas
- http://math.berkeley.edu/~reb/papers/siegel/