"원시근에 대한 아틴의 추측"의 두 판 사이의 차이
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* 거듭제곱이 아닌 <math>\mathbb{Q^{\times}}\backslash\{-1,0,1\}</math> 의 원소 a에 대하여, 소수 p에 대하여 <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}</math>에서의 multiplicative order를 정의할 수 있다 | * 거듭제곱이 아닌 <math>\mathbb{Q^{\times}}\backslash\{-1,0,1\}</math> 의 원소 a에 대하여, 소수 p에 대하여 <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}</math>에서의 multiplicative order를 정의할 수 있다 | ||
* 완전제곱이 아니고 -1이 아닌 정수 $a$를 고정 | * 완전제곱이 아니고 -1이 아닌 정수 $a$를 고정 | ||
| − | * $p$를 바꿔가면서 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$에서 $a$가 원시근이 되는 | + | * $p$를 바꿔가면서 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$에서 $a$가 원시근이 되는 빈도를 생각할 수 있다 |
* 아틴의 추측에 의하면 이 빈도는 $a$에 의존하지 않으며, 아틴 상수에 의해 주어진다 | * 아틴의 추측에 의하면 이 빈도는 $a$에 의존하지 않으며, 아틴 상수에 의해 주어진다 | ||
:<math>C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{p\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.3739558136\ldots</math> | :<math>C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{p\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.3739558136\ldots</math> | ||
2014년 5월 28일 (수) 11:49 판
개요
- 거듭제곱이 아닌 \(\mathbb{Q^{\times}}\backslash\{-1,0,1\}\) 의 원소 a에 대하여, 소수 p에 대하여 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}\)에서의 multiplicative order를 정의할 수 있다
- 완전제곱이 아니고 -1이 아닌 정수 $a$를 고정
- $p$를 바꿔가면서 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$에서 $a$가 원시근이 되는 빈도를 생각할 수 있다
- 아틴의 추측에 의하면 이 빈도는 $a$에 의존하지 않으며, 아틴 상수에 의해 주어진다
\[C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{p\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.3739558136\ldots\]
예
- 가령 2는 다음과 같은 소수 $p<500$에 대하여 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$의 원시근이 된다
- 3,5,11,13,19,29,37,53,59,61,67,83,101,107,131,139,149,163,173,179,181,197,211,227,269,293,317,347,349,373,379,389,419,421,443,461,467,491
테이블
- 다음 표는 첫 10000개의 소수에 대하여 $a$가 원시근이 되는 빈도이다
\begin{array}{c|c} a & \text{ratio} \\ \hline 2 & 0.37500 \\ 3 & 0.37700 \\ 5 & 0.39580 \\ 6 & 0.37530 \\ 7 & 0.37610 \\ 10 & 0.37550 \\ 11 & 0.37890 \\ 13 & 0.37920 \\ 14 & 0.37700 \\ 15 & 0.37560 \\ 17 & 0.37620 \\ 19 & 0.37670 \\ 21 & 0.37900 \\ 22 & 0.37510 \\ 23 & 0.37880 \\ 26 & 0.38000 \\ 29 & 0.37610 \\ 30 & 0.37840 \end{array}
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Moree, Pieter. 2004. “Artin’s primitive root conjecture -a survey -.” math/0412262 (December 13). http://arxiv.org/abs/math/0412262.
관련도서
- Hans Rademacher, 'Decimal Fractions' from the book 'Higher mathematics from elementary point of view'