"디리클레 L-함수의 미분"의 두 판 사이의 차이

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:<math>\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math>
 
:<math>\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math>
 
여기서 $\beta$는 [[디리클레 베타함수]]
 
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<math>f</math>가 <math>f(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, <math>p(z)=z-z^3</math>
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<math>\chi</math>가 <math>\chi(1)=1,\chi(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면,
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$L_{-4}$는 다음과 같이 쓸 수 있다.
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$$L(s):=L_{-4}(s) =\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}$$
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<math>L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}</math>
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이제 <math>L'(1)</math> 의 값을 구하자.
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[[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]를 이용한 $L$-함수의 표현
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:<math>L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math>과 [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]] 의 에르미트 표현  
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:<math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math>  을 사용하면, 다음을 얻는다.
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:<math>L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}</math>
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:<math>L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}</math>
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다음의 함수
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<math>L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> 와 [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)|Hurwitz 제타함수]] 의 에르미트 표현 <math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math>  을 사용하면,
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:<math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)</math>
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가 만족시키는 함수방정식
 
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<math>L(0)=\frac{1}{2}</math> 을 쉽게 얻을 수 있다.
 
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한편 [[다이감마 함수(digamma function)]] 의 값 <math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>에서 <math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)</math> 를 활용하여,
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:<math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>에서 <math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)</math>를 얻고, 이로부터
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<math>L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})</math>
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따라서
 
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:<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})</math>
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:<math>L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})</math>
  
 
* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)]] 항목 참조
 
* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)]] 항목 참조

2014년 7월 13일 (일) 15:22 판

개요

리만제타함수

\[\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\]


디리클레 L-함수의 미분

  • \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K\)에 대하여, 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴

\[L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\]


예1

정리

수체 \(K=\mathbb{Q}(i)\)에 대하여 다음이 성립한다 \[\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\] 여기서 $\beta$는 디리클레 베타함수

증명

\(\chi\)가 \(\chi(1)=1,\chi(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, $L_{-4}$는 다음과 같이 쓸 수 있다. $$L(s):=L_{-4}(s) =\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}$$ 이제 \(L'(1)\) 의 값을 구하자. 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)를 이용한 $L$-함수의 표현 \[L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\]과 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function) 의 에르미트 표현 \[\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\] 을 사용하면, 다음을 얻는다. \[L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}\] 따라서 \[L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\] 다음의 함수 \[\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)\] 가 만족시키는 함수방정식 \[\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\] 을 사용하자. \(L(0)=\frac{1}{2}\) 을 쉽게 얻을 수 있다.

한편 다이감마 함수(digamma function) 의 값 \[\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\]에서 \(\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)\)를 얻고, 이로부터 \[L'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})\] 를 얻는다.

따라서 \[L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})\]


예2

  • 수체 \(K=\mathbb{Q}(\omega)\), \(\omega^2+\omega+1=0\)에 대하여 다음이 성립한다

\[L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})\]


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

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