"후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)"의 두 판 사이의 차이
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| − | <math>k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)</math> | + | :<math>k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)</math> |
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==디리클레 L-함수와의 관계== | ==디리클레 L-함수와의 관계== | ||
| − | + | * <math>\chi</math>가 주기가 <math>p</math>인 [[디리클레 지표]]라고 하면, [[디리클레 L-함수]]를 다음과 같이 쓸 수 있다 | |
| − | <math>\chi</math>가 주기가 <math>p</math>인 디리클레 | + | :<math>L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)</math> |
| − | + | * 가령 <math>\chi</math>가 <math>\chi(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면 | |
| − | <math>L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)</math> | + | :<math>L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> |
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| − | <math>\chi</math>가 <math>\chi(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면 | ||
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| − | <math>L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> | ||
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| − | + | * <math>\operatorname{Re} a > 0 </math> 일 때, | |
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| − | <math>\operatorname{Re} a > 0 </math> 일 때, <math>\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}</math> | ||
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==베르누이 다항식과의 관계== | ==베르누이 다항식과의 관계== | ||
| − | + | * 정수 <math>n\geq 0</math>에 대하여 <math>\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}</math> | |
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
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* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)]] | * [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)]] | ||
* [[감마함수]] | * [[감마함수]] | ||
2014년 7월 13일 (일) 15:27 판
개요
- 후르비츠 제타함수를 다음과 같이 정의
\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)
- \(a=1\) 인 경우, 리만제타함수가 됨
- \(a=q/p\) 인 경우,
\[\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^s}{(pn+q)^s}\]
덧셈공식
- 다음이 성립한다
\[k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)\]
디리클레 L-함수와의 관계
\[L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)\]
- 가령 \(\chi\)가 \(\chi(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면
\[L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\]
에르미트의 적분표현
- \(\operatorname{Re} a > 0 \) 일 때,
\[\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}\]
감마함수와의 관계
- 정리 (Lerch)
다음이 성립한다 \[\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\label{her}\]
- 증명
위에 있는 에르미트의 적분표현 \ref{her}과 감마함수의 Binet's second expression 을 이용■
베르누이 다항식과의 관계
- 정수 \(n\geq 0\)에 대하여 \(\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}\)
- 특히, \(n=0\)이면 \(\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x\)
- 베르누이 다항식
메모
\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)
\(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\)
\(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\)
\(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+\log a\)
\(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\).
\(a>0\) 일때, \(G(a)\)는 로그 볼록성을 가진다.
또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다.
감마함수의 성질로부터 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\)
\(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조)
\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 임이 증명된다.
역사
관련된 항목들
수학용어번역
- Hurwitz - 발음사전 Forvo
사전 형태의 자료
관련논문
- On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1
- Olivier Espinosa and Victor H. Moll
- On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2
- Olivier Espinosa and Victor H. Moll
- A class of logarithmic integrals
- Victor Adamchik, 1997
- The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function
- Bruce C. BerndtThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
- On the Hurwitz zeta-function
- Bruce C. Berndt, Source: Rocky Mountain J. Math. Volume 2, Number 1 (1972), 151-158.