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| − | * [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] $s_{\lambda}$ 을 [[단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)]] $m_{\mu}$의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다 | + | * [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] $s_{\lambda}(\bar{x})$ 을 [[단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)]] $m_{\mu}(\bar{x})$의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다 |
| − | : <math>s_\lambda= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu.\ </math> | + | : <math>s_\lambda(\bar{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu(\bar{x}).\ </math> |
* 군 <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math>의 기약표현 $V_{\lambda}$에서 $\mu$에 대응되는 weight space의 차원 | * 군 <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math>의 기약표현 $V_{\lambda}$에서 $\mu$에 대응되는 weight space의 차원 | ||
2014년 9월 18일 (목) 17:47 판
개요
- 코스트카 수(Kostka number) $K_{\lambda\mu}$ : 형태가 $\lambda$이고 weight이 $\mu$인 준표준 영 태블로의 수
- 슈르 다항식(Schur polynomial) $s_{\lambda}(\bar{x})$ 을 단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial) $m_{\mu}(\bar{x})$의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다
\[s_\lambda(\bar{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu(\bar{x}).\ \]
- 군 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\)의 기약표현 $V_{\lambda}$에서 $\mu$에 대응되는 weight space의 차원
예
- $n=3$라 두고, $\lambda$가 4의 분할로 주어지는 경우, 슈르 다항식(Schur polynomial)은 다음과 같은 표로 주어진다
\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}
- $\lambda=(3,1)$이면,
$$ \begin{align} s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3) & =x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ & = (x_1^3 x_2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+x_2^3 x_3+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3)+(x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2)+2(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\ & = m_{(3,1,0)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,2,0)}(x_1,x_2,x_3)+2m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \end{align} $$
메모
- http://www.math.cornell.edu/~rassart/pub/KLRslides.pdf
- http://math.stackexchange.com/questions/17891/why-is-a-general-formula-for-kostka-numbers-unlikely-to-exist
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcjkzaUVqdnRnUm8/edit
- http://mathematica.stackexchange.com/questions/22852/looking-for-a-package-regarding-schur-polynomials-and-kostka-numbers
관련논문
- Kirillov, Anatol N., Anne Schilling, and Mark Shimozono. 1999. “Various Representations of the Generalized Kostka Polynomials.” Séminaire Lotharingien de Combinatoire 42: Art. B42j, 19 pp. (electronic). http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s42schil.pdf