"홀-리틀우드(Hall-Littlewood) 대칭함수"의 두 판 사이의 차이

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* 분할 $\lambda=(\lambda_n, \cdots, \lambda_1),\, \lambda_n\geq \cdots\geq \lambda_1\geq 0$에 대하여, $x^{\lambda}$는 단항식 $x_1^{\lambda_1}\dots x_n^{\lambda_n}$를 나타냄
 
* 분할 $\lambda=(\lambda_n, \cdots, \lambda_1),\, \lambda_n\geq \cdots\geq \lambda_1\geq 0$에 대하여, $x^{\lambda}$는 단항식 $x_1^{\lambda_1}\dots x_n^{\lambda_n}$를 나타냄
 
* $m_i(\lambda)$ 는 $\lambda$에서 $i$의 개수
 
* $m_i(\lambda)$ 는 $\lambda$에서 $i$의 개수
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* 다음과 같이 $v$를 정의
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* 다음과 같이 $v_{\lambda}$를 정의
 
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v_{\lambda}(t)=\prod_{i=0}^n \frac{(t)_{m_i}}{(1-t)^{m_i}}
 
v_{\lambda}(t)=\prod_{i=0}^n \frac{(t)_{m_i}}{(1-t)^{m_i}}

2014년 9월 24일 (수) 19:46 판

개요

  • 양의 정수 $n$에 대하여, $x=(x_1,\dots,x_n)$로 두자
  • 분할 $\lambda=(\lambda_n, \cdots, \lambda_1),\, \lambda_n\geq \cdots\geq \lambda_1\geq 0$에 대하여, $x^{\lambda}$는 단항식 $x_1^{\lambda_1}\dots x_n^{\lambda_n}$를 나타냄
  • $m_i(\lambda)$ 는 $\lambda$에서 $i$의 개수
  • 다음과 같이 $v_{\lambda}$를 정의

$$ v_{\lambda}(t)=\prod_{i=0}^n \frac{(t)_{m_i}}{(1-t)^{m_i}} $$

  • 홀-리틀우드 다항식 $P_{\lambda}(x;t)$은 다음과 같이 정의

$$ P_{\lambda}(x;t)=\frac{1}{v_{\lambda}(t)} \sum_{w\in\mathfrak{S}_n} w\bigg(x^{\lambda}\prod_{i<j}\frac{x_i-tx_j}{x_i-x_j}\bigg), $$ 여기서 대칭군 $\mathfrak{S}_n$는 $x$에 $x_i$의 치환으로 작용

예

변수의 개수가 2이고, 4의 분할인 경우

  • 슈르다항식 $s_{\lambda}$과 홀-리틀우드 다항식 $P_{\lambda}$를 같이 나타냄

$$ \begin{array}{c|c|c} \lambda & s_{\lambda }(x) & P_{\lambda }(x;t) \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_2 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_2^3 x_1+x_2^4 & -t x_2 x_1^3-t x_2^2 x_1^2-t x_2^3 x_1+x_1^4+x_2 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_2^3 x_1+x_2^4 \\ \{3,1\} & x_2 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_2^3 x_1 & x_1 x_2 \left(-t x_2 x_1+x_1^2+x_2 x_1+x_2^2\right) \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2 & \frac{(t-1)^2 (t+1) x_1^2 x_2^2}{(t;t)_2} \\ \{2,1,1\} & 0 & 0 \\ \{1,1,1,1\} & 0 & 0 \end{array} $$


메모

  • spherical Macdonald functions


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관련논문

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