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C = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629. | C = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629. | ||
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| − | 여기서 $\{s_i\}$는 실베스터 수열, 즉 $s_i = s_{i-1}^2-s_{i-1}+1$, $s_0=2$로 정의되는 정수열 | + | 여기서 $\{s_i\}$는 [[실베스터 수열]], 즉 $s_i = s_{i-1}^2-s_{i-1}+1$, $s_0=2$로 정의되는 정수열 |
* 초월수이며, 연분수 전개는 다음과 같다 | * 초월수이며, 연분수 전개는 다음과 같다 | ||
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2015년 1월 12일 (월) 20:39 판
개요
- 다음과 같은 급수로 정의되는 상수
$$ C = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629. $$ 여기서 $\{s_i\}$는 실베스터 수열, 즉 $s_i = s_{i-1}^2-s_{i-1}+1$, $s_0=2$로 정의되는 정수열
- 초월수이며, 연분수 전개는 다음과 같다
$$ C=[0; 1, 1, 1, 4, 9, 196, 16641, 639988804,\cdots] $$
- $C=[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots]$로 쓰면, $a_n$은 다음의 점화식으로 얻어진다
$$ a_0=0,a_1=a_2=a_3=1 \\ a_{n+2}=a_{n}s_{n-2},\, n\geq 2 $$
- $a_n$은 모두 완전제곱수가 된다