람베르트 연분수

개요

• 자연수 $y\geq 1$에 대하여 다음과 같은 연분수전개가 성립한다

$$ \tanh(1/y)=\frac{e^{1/y}-e^{-1/y}}{e^{1/y}+e^{-1/y}}=[0;y,3y,5y,7y,\cdots] $$

• $y=2$인 경우

$$ \frac{e-1}{e+1}=[0;2,6,10,14,\cdots] $$

• 자연상수 e의 유리수 근사

유도

정리

자연수 $y\geq 1$에 대하여 다음과 같은 연분수전개가 성립한다 $$ \tanh(1/y)=\frac{e^{1/y}-e^{-1/y}}{e^{1/y}+e^{-1/y}}=[0;y,3y,5y,7y,\cdots] $$

증명

• 초기하급수

\[\,_0F_1(c;x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(c)_nn!}x^n\] 여기서 \((c)_n=c(c+1)(c+2)...(c+n-1)\)는 포흐하머 (Pochhammer) 기호

• $f(c,x)=\,_0F_1(c;x)$로 두자
• 다음과 같은 contiguous 관계가 성립한다

$$ f(c,x)=f(c+1,x)+\frac{x}{c(c+1)}f(c+2,x) $$

• 이로부터 다음을 얻는다

$$ \frac{z}{c}\frac{f\left(c+1,z^2\right)}{f\left(c,z^2\right)}=\frac{1}{\frac{c}{z}+\frac{z}{c+1}\frac{f\left(c+2,z^2\right)}{f\left(c+1,z^2\right)}} $$

• 따라서 $F$를 다음과 같이 정의하자

$$F(c,z)=\frac{z}{c}\frac{f\left(c+1,z^2\right)}{f\left(c,z^2\right)}$$

• 다음이 성립한다

$$ F(c,z)=\frac{1}{\frac{c}{z}+F(c+1,z)} $$

• 다음과 같은 연분수전개를 얻는다

$$ F(c,z)=[0,\frac{c}{z},\frac{c+1}{z},\cdots, \frac{c+n-1}{z},F(c+n,z)] $$

• $c=\frac{1}{2}$인 경우

$$ F(1/2,z)=\frac{z}{1/2}\frac{f\left(3/2,z^2\right)}{f\left(1/2,z^2\right)}=\frac{\sinh(2z)}{\cosh(2z)} $$ ■

사전 형태의 자료

• http://mathworld.wolfram.com/LambertsContinuedFraction.html