까엔 상수

개요

• 다음과 같은 급수로 정의되는 상수

$$ C = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629. $$ 여기서 $\{s_i\}$는 실베스터 수열, 즉 $s_i = s_{i-1}^2-s_{i-1}+1$, $s_0=2$로 정의되는 정수열

• 초월수이며, 연분수 전개는 다음과 같다

$$ C=[0; 1, 1, 1, 4, 9, 196, 16641, 639988804,\cdots] $$

• $C=[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots]$로 쓰면, $a_n$은 다음의 점화식으로 얻어진다

$$ a_0=0,a_1=a_2=a_3=1 \\ a_{n+2}=a_{n}s_{n-2},\, n\geq 2 $$

• $a_n$은 모두 완전제곱수가 된다

메모

• 다음과 같이 상수 $C'$를 정의하자

$$ C' = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i}=\frac12 - \frac13 + \frac17 - \frac1{43} + \frac1{1807} - \cdots\approx 0.2868210926. $$

• $C'=2C-1$이 성립한다
• 이는 다음을 이용하여 보일 수 있다

$$ \frac{1}{s_i}=\frac{1}{s_{n-1}-1}-\frac{1}{s_{n}-1} $$

매스매티카 파일 및 계산리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeWdEWjA0QWY4UHc/edit
• http://oeis.org/A118227

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester's_sequence