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* <math>V=L(\lambda)</math> 이면, 캐릭터는 다음과 같이 주어진다<br><math>\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math><br> | * <math>V=L(\lambda)</math> 이면, 캐릭터는 다음과 같이 주어진다<br><math>\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math><br> | ||
| − | * 또다른 표현<br><math>\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}</math> 여기서 <math>A_{\mu}=\sum_{w\in W^{0}} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math><br> | + | * 또다른 표현<br><math>\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}</math> 여기서 <math>A_{\mu}=\sum_{w\in W^{0}} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math>, P : weight lattice<br> |
| − | + | * denominator identity<br><math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}</math><br> | |
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* <math>\mathfrak{h}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x\rangle}</math><br> | * <math>\mathfrak{h}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x\rangle}</math><br> | ||
* <math>\mathfrak{h}^{*}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}</math><br> | * <math>\mathfrak{h}^{*}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}</math><br> | ||
| + | * 예<br> | ||
| + | ** <math> $\mu\in \mathfrak{h}^{*}$</math> 에 대하여, <math>A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)</math> | ||
| + | ** <math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}</math><br> | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics] | * [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics] | ||
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2012년 7월 26일 (목) 06:05 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- \(V=L(\lambda)\) 이면, 캐릭터는 다음과 같이 주어진다
\(\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}\) - 또다른 표현
\(\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}\) 여기서 \(A_{\mu}=\sum_{w\in W^{0}} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]\), P : weight lattice - denominator identity
\({\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}\)
함수로 이해하기
- \($e^{\lambda}$\in \mathbb{Z}[P]\)
- \(\mathfrak{h}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x\rangle}\)
- \(\mathfrak{h}^{*}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}\)
- 예
- \( $\mu\in \mathfrak{h}^{*}$\) 에 대하여, \(A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)\)
- \({\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}\)
Weyl dimension formula
- \(\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\)
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
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매스매티카 파일 및 계산 리소스
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- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_character_formula
- Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
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