단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)

개요

• 대칭다항식의 예

정의

• 변수의 개수 $n$과 $d$의 (0을 허용하며, 크기가 $n$인) 분할(partition) \(\lambda\)가 주어지면 $d$차 다항식 \( m_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
  • 분할 $\lambda$의 크기가 $n$보다 큰 경우, $m_{\lambda}=0$
• $d$의 (크기가 $n$인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
• 다음과 같이 $n\times n$ 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자
• 단항 대칭 다항식은 다음과 같이 정의된다

\[m_{\lambda} = \sum_{\alpha}\mathbb{x}^{\alpha}\] 여기서 합은 $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$의 서로 다른 순열 (permutation) $\alpha=(\alpha_1,\cdots, \alpha_n)$에 대하여 행하며, $\mathbb{x}^{\alpha}=x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\cdots x_n^{\lambda_n}$

예

변수의 개수가 3이고, 2의 분할인 경우

$$ \begin{array}{c|c} \lambda & m_{\lambda } \\ \hline \{2\} & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ \{1,1\} & x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3 \\ \end{array} $$

변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우

$$ \begin{array}{c|c} \lambda & m_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^3 x_3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_3^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \\ \end{array} $$

관련된 항목들

• 대칭다항식
• 코스트카 수 (Kostka number)

계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWXhwZWJ6SXBJYnc/edit
• http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/sf/monomial.html