"프로이덴탈 중복도 공식 (Freudenthal multiplicity formula)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
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* 유한차원 단순리대수 $\mathfrak{g}$의 유한차원표현 <math>V</math>에 대하여, $V_{\mu}$를 weight $\mu \in P$에 대응되는 $V$의 weight space라 하자
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* 유한차원 단순리대수 $\mathfrak{g}$의 유한차원표현 <math>V</math>에 대하여, $V_{\lambda}$를 weight $\lambda \in P$에 대응되는 $V$의 weight space라 하자
 
;정리 (프로이덴탈)
 
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$\lambda$를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 $V=L(\lambda)$에 대하여 $m_{\mu}:=\dim{V_{\mu}}$는 다음을 만족한다
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$\Lambda$를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 $V=L(\Lambda)$에 대하여 $m_{\lambda}:=\dim{V_{\lambda}}$는 다음을 만족한다
 
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(||\lambda+\rho||^2-||\mu+\rho||^2)m_{\mu}=2\sum_{\alpha\in \Delta_{+}}\sum_{j\geq 1}(\mu+j\alpha,\alpha)m_{\mu+j\alpha}
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(||\Lambda+\rho||^2-||\lambda+\rho||^2)m_{\lambda}=2\sum_{\alpha\in \Delta_{+}}\sum_{j\geq 1}(\lambda+j\alpha,\alpha)m_{\lambda+j\alpha}
 
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여기서 $(\cdot,\cdot)$은 $\mathfrak{g}$의 킬링 형식
 
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTEZCeWFxQWtULUk/edit
  
 
[[분류:리군과 리대수]]
 
[[분류:리군과 리대수]]

2015년 5월 5일 (화) 20:47 판

개요

  • 유한차원 단순리대수 $\mathfrak{g}$의 유한차원표현 \(V\)에 대하여, $V_{\lambda}$를 weight $\lambda \in P$에 대응되는 $V$의 weight space라 하자
정리 (프로이덴탈)

$\Lambda$를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 $V=L(\Lambda)$에 대하여 $m_{\lambda}:=\dim{V_{\lambda}}$는 다음을 만족한다 $$ (||\Lambda+\rho||^2-||\lambda+\rho||^2)m_{\lambda}=2\sum_{\alpha\in \Delta_{+}}\sum_{j\geq 1}(\lambda+j\alpha,\alpha)m_{\lambda+j\alpha} $$ 여기서 $(\cdot,\cdot)$은 $\mathfrak{g}$의 킬링 형식


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

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