"픽의 정리(Pick's Theorem)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
==개요==
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* 꼭지점이 격자위에 놓여 있는 다각형
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우리가 다룰 대상은 그 꼭지점이 격자위에 놓여 있는 다각형으로 원과 연결상태가 같은 다각형이다. 다각형이 넓이가 클수록 그 안에 또는 그 변위에 있는 격자점이 많을 것이라는 생각이 드는가? 이 너무나도 자연스럽고 당연한 생각이 우리의 여정의 출발점이다. 왜냐하면 이것은 이미 그들의 관계가 일차식임을 말해주고 있기 때문이다. 우리의 목표는 이 관계를 좀 더 정교하게 알아내는 것이다.
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* 다각형의 내부에 있는 격자점의 개수를 $I$, 경계에 있는 격자점의 수를 $B$라 하면, 다각형의 넓이 $A$는 다음과 같이 주어진다
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A=I+B/2-1
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==몇가지 예==
 
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다각형의 내부에 있는 점은 푸른색이고, 경계에 있는 점은 빨간색으로 표시되어 있다.
 
  
 
 
 
 
  
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==예==
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[[파일:픽의 정리1.gif]]
  
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$I=6,B=6$
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$A=6+6/2-1=8$
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[[파일:픽의 정리2.gif]]
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$I=5,B=10$
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$A=5+10/2-1=9$
 
 
 
 
  
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==메모==
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다각형의 넓이와 점의 개수 사이에서 어떤 관계가 관찰되는가?
 
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표의 오른쪽에 나와 있는 공식이 바로 우리가 증명해야 할 것이다.
 
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'''증명의 뼈대를 이해하자.'''
 
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우리는 곧 V라고 하는 함수를 정의할 것이다. 이 함수가 우리의 증명에 결정적인 역할을 한다.
 
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증명과정은 크게 두 과정으로 나눌 수 있다.<br> 첫째는, V라는 함수의 값이 다각형의 넓이와 같다는 것을 보이는 과정이고,<br> 둘째는, V의 값을 정의대로 계산하는 과정이다.
 
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즉 다각형의 넓이와 V를 계산한 결과를 비교하면 우리는 원하는 것을 손에 넣게 된다.
 
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'''V를 정의하자'''
 
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위에서 말한대로 이제는 V를 정의할 차례이다.<br> V는 다각형 P에 대한 함수라 할 수 있는데, 다각형의 내부에 있는 점에 대해서는 2Pi, 다각형의 꼭지점이 아닌 경계의 점에 대해서는 Pi, 꼭지점에 대해서는 그 내각의 크기 만큼의 값을 주고 모두 더한 뒤에 2Pi로 나눈 값이다.
 
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이해를 돕기 위하여 예를 하나 들어보자.
 
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V를 계산한 과정에 대해서 잘 이해하고, 사다리꼴의 넓이와 방금 구한 값이 9로 일치함을 확인하자.'''이제는 본격적인 증명이다.'''
 
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구체적인 작업에 앞서 이제 논의를 네 단계로 나눈다.
 
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P1 :V(P)는 다각형을 작게 쪼개어 각각 계산한뒤 더해도 된다.<br> P2 :격자삼각형에 대하여 V(p)=Area(p)이다.<br> P3 :격자다각형에 대하여 V(p)=Area(p)이다.<br> P4 : 이다.
 
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</blockquote>
 
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'''P1: V(P)는 다각형을 작게 쪼개어 각각 계산한뒤 더해도 된다.'''<br> 처음에 들었던 복잡한 도형을 가지고 생각해 보자.
 
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이 다각형에 대하여 V값을 생각해 볼 수 있다.<br> 다음엔 다각형을 그림과 같이 두 개로 나누어 보자.
 
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두 개의 다각형에 대하여 각각의 V값을 구해 보자. 각각 구한 두 개의 V를 더하면 원래 다각형과 같을 것이다. 이유는? 보이는 대로 믿으면 된다. 결과를 요약하자면 다음과 같다.<br>'''커다란 다각형의 V값을 구하고 싶다면 작은 다각형들로 쪼개서 따로따로 V값을 구한 뒤에 더하면 된다. 물론 두 개 이상으로 쪼개도 된다.'''<br> 다소 직관적인 논의였지만, 우리가 끌어낸 사실은 매우 의미심장하다. 그 이유는 앞으로의 논의에서 알게 될 것이다.'''P2: 삼각형 P 에 대해서 V(P)=Area(P) 이다.'''<br> 먼저 아래 그림과 같이 각 변이 x축과 y축에 평행한 직사각형에 대해서 V(R)=Area(R)임을 보이자.
 
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위의 직사각형은 가로가 4, 세로가 3 이므로 넓이는 12이다. 한편, 그 내부의 점은 (4-1)(3-1)개이고, 꼭지점이 아니면서 경계에 있는 점은 2*((4-1)+(3-1))개이므로,  이다.<br> 비슷한 생각으로부터 우리는  형태의 직사각형에 대해서 V(R)=(p-1)(q-1)+(p-1)+(q-1)+1=pq 임을 안다. 즉 V(R)=area(R) 이다. 이 사실로부터 직각삼각형에 대한 결론도 이끌어 낼 수 있다.
 
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두 선분이 x축과 y축에 평행한 직각삼각형 P를 합동인 직각삼각형을 붙여서 직사각형으로 만들 수 있다. 이 직사각형을 R이라 할 때, 이다.이제 맨 처음에 보인 V의 성질이 등장한다. 두 개의 직각삼각형에 대해서 각각 V를 구하여 더한 값은 V(R)과 같은데,두 직각삼각형의 V값이 같을 것임은 쉽게 알 수 있다. 즉,직각삼각형의 이어야 한다.<br> V(R)=area(R)에서 V(P)=area(P)가 얻어졌다 !!
 
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임의의 격자삼각형에 대해서 많아야 세 개의 직각삼각형을 덧붙이면, 직사각형을 만들 수 있다. 따라서 비슷한 논의에 의하여 삼각형에 대해서도 식은 성립한다. '''P3: 격자다각형에 대하여 V(P)=Area(P)이다.'''
 
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격자다각형이 다각형의 꼭지점을 꼭지점으로 갖는 삼각형으로 분해되었을 때, 그 분해된 각각의 삼각형에 대해서 V값을 구하여, 모두 더하면 그것은 다각형의 V와 같을 것이고, 각각의 삼각형에 대한 V값은 넓이와 같으므로,그 합은 다각형의 넓이가 될 것이다.<br> 실제로 격자다각형은 격자삼각형으로 분해된다는 사실이 알려져 있다.(증명은 생략하나, 이것은 여기서 굉장히 중요한 정리임.)
 
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'''잠시 숨을 돌릴겸, 이제까지의 결과를 정리하면, 격자다각형의 V값은 넓이와 같다는 것이다. 이제 원하던 공식을 얻기 직전이다.'''
 
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'''P4 : 이다.'''
 
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주어진 다각형이 n각형이라고 하자. 다각형의 내부에 있는 점은 I개 이고, 경계에 있는 점은 B개 이다. 꼭지점 위에 있지 않는 경계의 점은 B – n 개 가 된다. 한편 각 꼭지점이 V에 공헌하는 것은 다각형의 내각의 크기가 될 것이다. 내각의 합은일 것이다. 이제 V를 정의대로 계산하면,
 
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==메모=
 
 
* http://mathoverflow.net/questions/46387/counting-integral-points-of-a-polytope-in-r3-the-c-1-coefficient-of-ehrhart-po
 
* http://mathoverflow.net/questions/46387/counting-integral-points-of-a-polytope-in-r3-the-c-1-coefficient-of-ehrhart-po
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://drive.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWEF0amNoNHlNbVE/view
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* http://demonstrations.wolfram.com/PicksTheorem/
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* http://demonstrations.wolfram.com/EstimatingPerimeterAndAreaOfSimplePolygons/
  
 
 
 
 
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==에세이, 리뷰, 강의노트==
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/23/612 픽의 정리(Pick’s Theorem)], 피타고라스의 창
  
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==계산 리소스==
 
  
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* http://demonstrations.wolfram.com/PicksTheorem/
 
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* http://demonstrations.wolfram.com/EstimatingPerimeterAndAreaOfSimplePolygons/
 
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* [http://www.jstor.org/stable/3618072 A Visual Approach to Some Elementary Number Theory]
 
* [http://www.jstor.org/stable/3618072 A Visual Approach to Some Elementary Number Theory]
 
** Maxim Bruckheimer and Abraham Arcavi, <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 79, No. 486 (Nov., 1995), pp. 471-478
 
** Maxim Bruckheimer and Abraham Arcavi, <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 79, No. 486 (Nov., 1995), pp. 471-478
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==블로그==
 
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/23/612 픽의 정리(Pick’s Theorem)]<br>
 
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** 피타고라스의 창
 
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[[분류:조합수학]]
 
[[분류:조합수학]]

2015년 8월 24일 (월) 08:06 판

개요

  • 꼭지점이 격자위에 놓여 있는 다각형
  • 다각형의 내부에 있는 격자점의 개수를 $I$, 경계에 있는 격자점의 수를 $B$라 하면, 다각형의 넓이 $A$는 다음과 같이 주어진다

$$ A=I+B/2-1 $$

 

예

픽의 정리1.gif

$I=6,B=6$ $A=6+6/2-1=8$


픽의 정리2.gif

$I=5,B=10$ $A=5+10/2-1=9$  


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