"멜린-반스 적분"의 두 판 사이의 차이
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* 함수 $f(x)=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$의 멜린변환 $\tilde{f}$는 다음과 같다 | * 함수 $f(x)=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$의 멜린변환 $\tilde{f}$는 다음과 같다 | ||
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| − | \tilde{f}(z) | + | \tilde{f}(z)=\int_0^{\infty}x^{z-1}f(x)\,dx=-\frac{\sqrt{\pi}}{4}\frac{\Gamma(\frac{z}{2}-1)}{\Gamma(\frac{3}{2}-\frac{z}{2})},\, \quad 0<\Re{z}<2 |
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* 멜린역변환은 다음과 같다 | * 멜린역변환은 다음과 같다 | ||
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\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2=-\frac{\sqrt{\pi}}{4}\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\frac{\Gamma(\frac{z}{2}-1)}{\Gamma(\frac{3}{2}-\frac{z}{2})}x^{-z}\, dz,\, \quad 0<\delta<2 | \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2=-\frac{\sqrt{\pi}}{4}\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\frac{\Gamma(\frac{z}{2}-1)}{\Gamma(\frac{3}{2}-\frac{z}{2})}x^{-z}\, dz,\, \quad 0<\delta<2 | ||
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| + | * $f$는 다음과 같다 | ||
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| + | f(x)= | ||
| + | \begin{cases} | ||
| + | \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&x\in(0,1)\\ | ||
| + | 0&x>0 | ||
| + | \end{cases} | ||
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| + | * 멜린변환은 다음과 같다 | ||
| + | $$ | ||
| + | \tilde{f}(z)=\int_0^{\infty}x^{z-1}f(x)\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Gamma \left(\frac{z}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{z+1}{2}\right)},\, \quad \Re{z}>0 | ||
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==사전 형태의 자료== | ==사전 형태의 자료== | ||
* https://en.wikipedia.org/wiki/Barnes_integral | * https://en.wikipedia.org/wiki/Barnes_integral | ||
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| + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
| + | * http://forums.wolfram.com/mathgroup/archive/2007/Sep/msg00795.html | ||
2015년 11월 27일 (금) 02:04 판
개요
- 감마함수의 곱을 적분
- 함수의 점근급수전개에 유용한 도구
예
예1
- 함수 $f(x)=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$의 멜린변환 $\tilde{f}$는 다음과 같다
$$ \tilde{f}(z)=\int_0^{\infty}x^{z-1}f(x)\,dx=-\frac{\sqrt{\pi}}{4}\frac{\Gamma(\frac{z}{2}-1)}{\Gamma(\frac{3}{2}-\frac{z}{2})},\, \quad 0<\Re{z}<2 $$
- 멜린역변환은 다음과 같다
$$ f(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\tilde{f}(z)x^{-z}\, dz=-\frac{\sqrt{\pi}}{4}\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\frac{\Gamma(\frac{z}{2}-1)}{\Gamma(\frac{3}{2}-\frac{z}{2})}x^{-z}\, dz,\, \quad 0<\delta<2 $$
- 즉,
$$ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2=-\frac{\sqrt{\pi}}{4}\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\frac{\Gamma(\frac{z}{2}-1)}{\Gamma(\frac{3}{2}-\frac{z}{2})}x^{-z}\, dz,\, \quad 0<\delta<2 $$
예2
- $f$는 다음과 같다
$$ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&x\in(0,1)\\ 0&x>0 \end{cases} $$
- 멜린변환은 다음과 같다
$$ \tilde{f}(z)=\int_0^{\infty}x^{z-1}f(x)\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Gamma \left(\frac{z}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{z+1}{2}\right)},\, \quad \Re{z}>0 $$
사전 형태의 자료
매스매티카 파일 및 계산 리소스
리뷰, 에세이, 강의노트
- Elizalde, E., K. Kirsten, and S. Zerbini. “Applications of the Mellin-Barnes Integral Representation.” Journal of Physics A: Mathematical and General 28, no. 3 (February 7, 1995): 617–29. doi:10.1088/0305-4470/28/3/016.
- http://www2.math.umd.edu/~punshs/Mellin-Barnes.pdf