슈르 다항식(Schur polynomial)

개요

• 대칭다항식의 하나
• 수학의 많은 영역에서 등장함
• 일반 선형군의 표현론에서 지표 역할
• 대칭군의 표현론과 일반 선형군의 표현론에서 중요한 역할

정의

• 변수의 개수 $n$과 $d$의 (0을 허용하며, 크기가 $n$인) 분할(partition) \(\lambda\)가 주어지면 $d$차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
  • 분할 $\lambda$의 크기가 $n$보다 큰 경우, $s_{\lambda}=0$
• 다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
  • \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
  • $d$의 (크기가 $n$인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
• 다음과 같이 $n\times n$ 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자

\[a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}\] \[a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}\]

• \ref{van}의 $a_{\rho}$는 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
• 슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 \[s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}\]
• 교대다항식은 반데몬드 다항식으로 나누어 얻어지므로, 대칭다항식이 된다

예

변수의 개수가 2이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2 \\ \{2,1,1\} & 0 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}

변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}

영 태블로

• 영 태블로(Young tableau)를 이용한 슈르 다항식의 표현

\[s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\] 여기서 $T$는 $\lambda$ 형태의 준표준 영 태블로

• 예 $n=3$, $\lambda=(2,1,1)$의 경우, $s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2$

$$ \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{1} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{2} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{3} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}\, $$

• 코스트카 수 (Kostka number)

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)

• 슈르 다항식은 완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)의 다항식으로 표현할 수 있다

정리 (자코비-트루디)

\(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)

예

• 변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다

\[\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)\]

• 예 \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=\left( \begin{array}{ccc} h_2 & h_3 & h_4 \\ 1 & h_1 & h_2 \\ 0 & 1 & h_1 \\ \end{array} \right)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\]

코쉬 항등식

• 다음이 성립한다

$$ \prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y) $$

1변수의 예

• 크기가 1보다 작거나 같은 분할은 $(n), n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$꼴로 주어진다
• 슈르다항식은 $s_{(n)}(x_1)=x_1^n$
• 따라서

$$ \sum_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}s_{(n)}(x_1)s_{(n)}(y_1)=1+x_1 y_1+x_1^2 y_1^2+x_1^3 y_1^3+\cdots=\frac{1}{1-x_1y_1} $$

2변수의 예

$$ \begin{aligned} \prod_{1\leq i,j\leq 2}(1-x_iy_j)^{-1}&=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)\\ &=1+x_1 y_1+x_2 y_1+x_1 y_2+x_2 y_2\\ &+x_1^2 y_1^2+x_1 x_2 y_1^2+x_2^2 y_1^2+x_1^2 y_1 y_2+2 x_1 x_2 y_1 y_2+x_2^2 y_1 y_2+x_1^2 y_2^2+x_1 x_2 y_2^2+x_2^2 y_2^2\\ &+x_1^3 y_1^3+x_1^2 x_2 y_1^3+x_1 x_2^2 y_1^3+x_2^3 y_1^3+x_1^3 y_1^2 y_2+2 x_1^2 x_2 y_1^2 y_2+\cdots \end{aligned} $$

• http://mathoverflow.net/questions/114275/generalization-of-cauchys-identity
• 코쉬 행렬과 행렬식

리틀우드 항등식

• 다음이 성립한다

$$ \sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-x_ix_j} $$

• The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (AMS Chelsea Publishing): Dudley E. Littlewood, http://www.amazon.com/Theory-Characters-Representations-Chelsea-Publishing/dp/0821840673.

정리 (맥도날드)

임의의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$에 대하여, 다음이 성립한다 $$ \sum_{\substack{\lambda \\ \lambda_1\leq m}}s_{\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}(x_i^{m+2n-j}-x_i^{j-1})}{\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)(x_ix_j-1)} $$

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• 슈르 다항식의 기약성 http://mathoverflow.net/questions/98494/irreducibility-of-schur-polynomials
• \(s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}\)

관련된 항목들

• 일반 선형군의 표현론
• 대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식
• 행렬식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWE1NTJlYzktMTk5Mi00YWUyLWE2M2YtMTdhNmIwOTc0NmY3/edit

수학용어번역

• 표준, standard - 대한수학회 수학용어집
• 준,반, semi - 대한수학회 수학용어집

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Lindström–Gessel–Viennot_lemma

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Tamvakis, Harry. 2012. “The Theory of Schur Polynomials Revisited.” L’Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série 58 (1-2): 147–163. http://arxiv.org/abs/1008.3094
• Bruce Sagan, Schur functions in algebraic combinatorics, in Encyclopaedia of Mathematics, Supplement II M. Hazewinkel ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000, 409-411 http://www.math.msu.edu/~sagan/Papers/Old/schur.pdf
• Macdonald, I. G. 1992. “Schur Functions: Theme and Variations.” In Séminaire Lotharingien de Combinatoire (Saint-Nabor, 1992), 498:5–39. Publ. Inst. Rech. Math. Av. Strasbourg: Univ. Louis Pasteur. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1308728. http://emis.u-strasbg.fr/journals/SLC/opapers/s28macdonald.pdf

관련논문

• Yeats, Karen. “A Hopf Algebraic Approach to Schur Function Identities.” arXiv:1511.06337 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06337.
• Blasiak, Jonah, and Sergey Fomin. “Noncommutative Schur Functions, Switchboards, and Positivity.” arXiv:1510.00657 [math], October 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00657.
• Blasiak, Jonah, and Ricky Ini Liu. “Kronecker Coefficients and Noncommutative Super Schur Functions.” arXiv:1510.00644 [math], October 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00644.
• Stanley, Richard P. “The Smith Normal Form of a Specialized Jacobi-Trudi Matrix.” arXiv:1508.04746 [math], August 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.04746.
• Motegi, Kohei, and Kazumitsu Sakai. “Quantum Integrable Combinatorics of Schur Polynomials.” arXiv:1507.06740 [cond-Mat, Physics:math-Ph], July 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06740.
• Proctor, Robert A. 1989. “Equivalence of the Combinatorial and the Classical Definitions of Schur Functions.” Journal of Combinatorial Theory, Series A 51 (1) (May): 135–137. doi:10.1016/0097-3165(89)90086-1.
• I. Gessel and X. Viennot, Determinants, paths, and plane partitions, Preprint, 1988 http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/papers/pp.pdf

리뷰, 에세이, 강의노트

• Sylvain Carrozza, Thomas Krajewski, Adrian Tanasa, Using Grassmann calculus in combinatorics: Lindström-Gessel-Viennot lemma and Schur functions, arXiv:1604.06276 [math.CO], April 21 2016, http://arxiv.org/abs/1604.06276