타니야마-시무라 추측(정리)

개요

• 유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계
• 'every elliptic curve over Q (the field of rational numbers) is modular'
• 페르마의 마지막 정리의 증명에 사용

예1. 타원곡선 \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)

• 타원곡선\[E: y^2=x^3-4x^2+16\] conductor = 11
• 유한체 위의 해의 개수

\[E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty)\}\] \[M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\] \[a_p=p+1-M_p\]

• 모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)& ={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2\\ {}& =\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots \end{aligned} \]

• 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 각각 위에서 정의한 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음

\[ \begin{array}{ccccccccccccccccccccc} p & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 & 59 & 61 & 67 & 71 \\ a_p & -1 & -1 & 1 & -2 & 1 & 4 & -2 & 0 & -1 & 0 & 7 & 3 & -8 & -6 & 8 & -6 & 5 & 12 & -7 & -3 \\ c_p & -2 & -1 & 1 & -2 & 1 & 4 & -2 & 0 & -1 & 0 & 7 & 3 & -8 & -6 & 8 & -6 & 5 & 12 & -7 & -3 \\ \end{array} \]

예2. 타원곡선 \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)

• 타원곡선\[E: y^2=x^3+x^2+4x+4\] conductor = 20
• 유한체 위의 해의 개수

\[E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty)\}\] \[M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\] \[a_p=p+1-M_p\]

• 모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)& ={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }- 4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots \end{aligned} \]

• 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 임을 볼 수 있음

\[ \begin{array}{c|c|c} p & a_p & c_p \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & -2 \\ 5 & -1 & -1 \\ 7 & 2 & 2 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 2 & 2 \\ 17 & -6 & -6 \\ 19 & -4 & -4 \\ 23 & 6 & 6 \\ 29 & 6 & 6 \\ 31 & -4 & -4 \\ 37 & 2 & 2 \\ 41 & 6 & 6 \\ 43 & -10 & -10 \\ 47 & -6 & -6 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 12 & 12 \\ 61 & 2 & 2 \\ 67 & 2 & 2 \\ 71 & -12 & -12 \end{array} \]

예3

• 타원곡선 \[y^2=x^3-x\]
• 모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)&={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots \end{aligned} \]

• 타원곡선 y²=x³-x 항목 참조

modularity theorem

• there exists a finite morphism \(f:X_ 0(N)\to E\) over \(\mathbb{Q}\) where \(X_ 0(N)\) is the modular curve
• http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_modular_curve
• http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_curve

역사

• 수학사 연표

메모

• every elliptic curve over the rational field can be found in the Jacobian variety of the curve which parametrizes elliptic curves with level structure its conductor

관련된 항목들

• 페르마의 마지막 정리
• 사토-테이트 추측 (Sato–Tate conjecture)
• 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)
• 모듈라 곡선 X0(50)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZWJhMzExOTYtNGM3Yi00ZWU1LWI2MmYtZGZiNzQ1M2JlYTRm&sort=name&layout=list&num=50
• Algorithms for modular elliptic curves, J. E. Cremona

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Taniyama-Shimura-Weil_conjecture

리뷰, 에세이, 강의노트

• Lang, Serge. 1995. “Some History of the Shimura-Taniyama Conjecture.” Notices of the American Mathematical Society 42 (11): 1301–1307.
• Gouvêa, Fernando Q. 1994. “‘A Marvelous Proof.’” The American Mathematical Monthly 101 (3): 203–222. doi:10.2307/2975598.
• Mazur, B. 1991. “Number Theory as Gadfly.” The American Mathematical Monthly 98 (7): 593–610. doi:10.2307/2324924.

관련논문

• Eta-quotients and elliptic curves
  • Y Martin, K Ono - Proceedings of the American Mathematical Society, 1997
• How the number of points of an elliptic curve over a fixed prime field varies
  • B. J. Birch, J. Lond. Math. Soc. 43 (1968), pp. 57--60

관련도서

• Diamond, Fred. 2005. A First Course in Modular Forms. Springer.