"가우스 합과 데데킨트 합의 관계"의 두 판 사이의 차이

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*  데데킨트합<br><math>\operatorname{Ddk}(a,c)=\frac{1}{4 c}\sum _{n=0}^{c-1} \cot \left(\frac{\pi  (2 n+1)}{2 c}\right) \cot \left(\pi  \left(\frac{a (2 n+1)}{2 c}+\frac{1}{2}\right)\right)</math><br>
 
*  데데킨트합<br><math>\operatorname{Ddk}(a,c)=\frac{1}{4 c}\sum _{n=0}^{c-1} \cot \left(\frac{\pi  (2 n+1)}{2 c}\right) \cot \left(\pi  \left(\frac{a (2 n+1)}{2 c}+\frac{1}{2}\right)\right)</math><br>
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*  가우스합<br><math>\operatorname{Ga}(a,c)=\frac{1}{\sqrt{c}}\sum _{r=0}^{|c|-1} \exp \left(\frac{i \pi  a r^2}{c}\right)</math><br>
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*  가우스합<br><math>\operatorname{Ga}(a,c)=\frac{1}{\sqrt{c}}\sum _{r=0}^{c-1} \exp \left(\frac{i \pi  a r^2}{c}\right)</math><br>
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*  remark<br> 이 정의는  [[데데킨트 합]] 에서의 정의와는 다르다<br><math>s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1}  \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)</math><br>
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*  remark<br> 이 정의는 위에서의 정의와는 다르다<br>
  
 
 
 
 
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* asymptotic analysis of basic hypergeometric series
 
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxdDl3MU5mQXAwZzA/edit
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* http://functions.wolfram.com/
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
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* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
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* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
  
 
 
 
 

2012년 4월 22일 (일) 12:45 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 가우스 합
    \(S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\)
  •   데데킨트 합
    \(s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\)
  • 둘 사이의 관계

 

 

정의
  • \(ac\)가 짝수인 서로 소인 정수a,c>0 를 생각하자
  • 데데킨트합
    \(\operatorname{Ddk}(a,c)=\frac{1}{4 c}\sum _{n=0}^{c-1} \cot \left(\frac{\pi (2 n+1)}{2 c}\right) \cot \left(\pi \left(\frac{a (2 n+1)}{2 c}+\frac{1}{2}\right)\right)\)
  • 가우스합
    \(\operatorname{Ga}(a,c)=\frac{1}{\sqrt{c}}\sum _{r=0}^{c-1} \exp \left(\frac{i \pi a r^2}{c}\right)\)
  • remark
    이 정의는 위에서의 정의와는 다르다

 

 

가우스 합과 데데킨트 합의 관계
  • \(\operatorname{Ga}(a,c)=\exp(-\pi i \operatorname{Ddk}(a,c))\)

 

 

 

메모

 

 

\(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)^2\)

 

 

 

 

 

\(\sqrt{t}\theta(\frac{p}{q}+it)\sim \frac{1}{q}S(p,q)=\frac{1}{q}\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\)

 

\(\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)

 

 

  • asymptotic analysis of basic hypergeometric series
  • asymptotic analysis of modular function

 

 

 

 

 

역사

 

 

 

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