"가우스와 정17각형의 작도"의 두 판 사이의 차이

2008년 11월 1일 (토) 20:05 판

양변을 \(x^2\)으로 나누면, \(x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0\) 을 얻게됨.

\(t=x+\frac{1}{x}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

\(x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}+1=(x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-1=t^2+t-1=0\)

\(t^2+t-1=0\)

\(t=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(t=x+\frac{1}{x}\)

\(x^2-tx+1=0\)

\(x=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}\)

따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.

\(x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0\) 의 경우에도 본질적으로는 위의 경우와 다르지 않으나, 2차방정식을 네번 풀어야 하고, 좀더 복잡해짐.

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 * 대수적으로 보자면, <math>x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0</math>의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있는가의 문제임.
 * 쉬운 예를 들자면, <math>x^4+x^3+x^2+x+1=0</math> 은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
+양변을 <math>x^2</math>으로 나누면, <math>x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0</math> 을 얻게됨.
+'''<math>t=x+\frac{1}{x}</math>''' 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.
+<math>x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}+1=(x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-1=t^2+t-1=0</math>
+<math>t^2+t-1=0</math>
+<math>t=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}</math>
+<math>t=x+\frac{1}{x}</math>
+<math>x^2-tx+1=0</math>
+<math>x=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}</math>
+따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.
+* <math>x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0</math> 의 경우에도 본질적으로는 위의 경우와 다르지 않으나, 2차방정식을 네번 풀어야 하고, 좀더 복잡해짐.
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