가우스와 정17각형의 작도

간단한 소개

• 가우스는 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능함을 증명함.
• 대수적으로 보자면, \(x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있는가의 문제.
• 쉬운 예를 들자면, \(x^4+x^3+x^2+x+1=0\) 은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.

양변을 \(x^2\)으로 나누면, \(x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0\) 을 얻게됨.

\(t=x+\frac{1}{x}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

\(x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}+1=(x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-1=t^2+t-1=0\)

방정식을 풀어가면,

 

\(t^2+t-1=0\)

\(t=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(t=x+\frac{1}{x}\)

\(x^2-tx+1=0\)

\(x=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}\)

 을 얻게 됨. 

따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.

• \(x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0\) 의 경우에도 본질적으로는 위의 경우와 다르지 않으나, 2차방정식을 네번 풀어야 하고, 좀더 복잡해짐.

 

증명

• \((3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}\)
• 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
  
  • \(A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}\)
  • \(A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}\)
  • \(A_0+A_1= -1\), \(A_{0}A_{2} = -4\), \(A_0>A_1\)
  • \(A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\) , \(A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\)
• 이번에는 4로 나눈 나머지에 따라서 분류
  
  • \(B_0 = \zeta^{13}+ \zeta^{16}+ \zeta^4 + \zeta^1 \)
  • \(B_1= \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12}\)
  • \(B_2= \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^8 +\zeta^2\)
  • \(B_3 =\zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} +\zeta^{6}\)
  • \(B_0+B_2=A_0\), \(B_0B_2= -1\), \(B_0>0\)
  • \(B_0 = \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}\), \(B_2 = \frac{-1 + \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}\)
  • \(B_1+B_3=A_1\), \(B_1B_3= -1\), \(B_{1}> 0\)
  • \(B_1 = \frac{-1 - \sqrt{17} + \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}\), \(B_3 = \frac{-1 - \sqrt{17} - \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}\)
• 이번에는 8로 나눈 나머지에 따라서 분류
  
  • \(C_0= \zeta^{16}+ \zeta^1\), \(C_4= \zeta^{13} +\zeta^4\), \(C_0 > C_1\)
  • \(C_0+C_4=B_0\), \(C_0C_4=B_1\)
  • \(C_0= \frac{B_0+\sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{8}\)
  • \(C_4= \frac{B_0 - \sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}\)
• 이제 마무리
  
  • \(\zeta =\frac{{C_0} + \sqrt{{C_0}^2 - 4}}{2}\)
  • \(\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}\)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 추상대수학
  
  • 순환군
  • 가해군 (solvable groups)
• 초등정수론
  
  • 합동식과 군론
  • 원시근(primitive root)
  • 오일러의 totient 함수

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 그리스 3대 작도 불가능문제
• 정다각형의 작도
• 원시근(primitive root)

 

표준적인 도서 및 추천도서

• Famous Problems of Elementary Geometry (Dover Phoenix Editions)
  
  • Felix Klein
  • 얇은 책으로, 대수방정식과 함께 고대 그리스 3대 작도 불가능문제를 소개함.
  • The constuction of the Regular Polygon of 17 sides (pdf)
• Elliptic functions and elliptic integrals
  
  • Viktor Prasolov, Yuri Solovyev
  • construction_of_a_regular_17-gon.pdf
• Lectures on Elementary Number Theory
  
  • Hans Rademacher

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon

 

참고할만한 자료

• 정17각형의 작도 과정을 보여주는 동영상
  
  • Youtube