"가우스와 정17각형의 작도"의 두 판 사이의 차이

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* 가우스는 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능함을 증명함.
 
* 가우스는 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능함을 증명함.
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* 대수적으로 보자면, <math>x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0</math>의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있는가의 문제.
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* 대수적으로, <math>x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0</math>의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있는가의 문제.
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* <math>x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0</math> 의 경우에도 본질적으로는 위의 경우와 다르지 않으나, 2차방정식을 네번 풀어야 하고, 좀더 복잡해짐.
 
* <math>x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0</math> 의 경우에도 본질적으로는 위의 경우와 다르지 않으나, 2차방정식을 네번 풀어야 하고, 좀더 복잡해짐.

2009년 4월 21일 (화) 09:29 판

간단한 소개
  • 가우스는 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능함을 증명함.
  • 대수적으로, \(x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있는가의 문제.
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  • \(x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0\) 의 경우에도 본질적으로는 위의 경우와 다르지 않으나, 2차방정식을 네번 풀어야 하고, 좀더 복잡해짐.

 

증명
  • \((3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}\)
  • 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
    • \(A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}\)
    • \(A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}\)
    • \(A_0+A_1= -1\), \(A_{0}A_{2} = -4\), \(A_0>A_1\)
    • \(A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\) , \(A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\)
  • 이번에는 4로 나눈 나머지에 따라서 분류
    • \(B_0 = \zeta^{13}+ \zeta^{16}+ \zeta^4 + \zeta^1 \)
    • \(B_1= \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12}\)
    • \(B_2= \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^8 +\zeta^2\)
    • \(B_3 =\zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} +\zeta^{6}\)
    • \(B_0+B_2=A_0\), \(B_0B_2= -1\), \(B_0>0\)
    • \(B_0 = \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}\), \(B_2 = \frac{-1 + \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}\)
    • \(B_1+B_3=A_1\), \(B_1B_3= -1\), \(B_{1}> 0\)
    • \(B_1 = \frac{-1 - \sqrt{17} + \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}\), \(B_3 = \frac{-1 - \sqrt{17} - \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}\)
  • 이번에는 8로 나눈 나머지에 따라서 분류
    • \(C_0= \zeta^{16}+ \zeta^1\), \(C_4= \zeta^{13} +\zeta^4\), \(C_0 > C_1\)
    • \(C_0+C_4=B_0\), \(C_0C_4=B_1\)
    • \(C_0= \frac{B_0+\sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{8}\)
    • \(C_4= \frac{B_0 - \sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}\)
  • 이제 마무리
    • \(\zeta =\frac{{C_0} + \sqrt{{C_0}^2 - 4}}{2}\)
    • \(\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}\)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

표준적인 도서 및 추천도서
위키링크

 

참고할만한 자료
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