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| − | * 한 점이 빠진 유클리드 공간 의 드람 코호몰로지:<math>H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^n \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}</math | + | * 한 점이 빠진 유클리드 공간 의 드람 코호몰로지:<math>H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^n \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}</math> |
| − | * n=3 인 경우:<math>H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^3 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,2 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,2 \end{cases}</math | + | * n=3 인 경우:<math>H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^3 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,2 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,2 \end{cases}</math>[[역제곱 벡터장]] 항목 참조 |
| − | * n=2 인 경우:<math>H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,1 \end{cases}</math | + | * n=2 인 경우:<math>H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,1 \end{cases}</math>[[각원소 벡터장]] 항목 참조 |
==드람-호지 이론== | ==드람-호지 이론== | ||
* finding a canonical representative in a given cohomology class | * finding a canonical representative in a given cohomology class | ||
| − | * | + | * <math>M</math> : 리만 다양체, <math>g</math>는 메트릭 |
| − | * | + | * <math>A^k(M)</math> : smooth <math>k</math>-forms on M |
| − | * M이 컴팩트이고 유향이면, | + | * M이 컴팩트이고 유향이면, <math>A^k(M)</math>에 다음과 같이 정의되는 내적이 존재한다 |
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\langle \phi, \psi \rangle:=\int_{M}g(\phi,\psi)dV | \langle \phi, \psi \rangle:=\int_{M}g(\phi,\psi)dV | ||
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* 라플라시안 | * 라플라시안 | ||
* harmonic forms | * harmonic forms | ||
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* 조화 호지 분해 정리 | * 조화 호지 분해 정리 | ||
** compact oriented 리만 다양체 M에 대하여 다음의 직교 분해가 존재한다 | ** compact oriented 리만 다양체 M에 대하여 다음의 직교 분해가 존재한다 | ||
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A^k(M)=H_{\Delta}^k(M)\oplus dA^{k-1}(M)\oplus d^{*}A^{k+1}(M) | A^k(M)=H_{\Delta}^k(M)\oplus dA^{k-1}(M)\oplus d^{*}A^{k+1}(M) | ||
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* compact complex Kahler 다양체에의 응용 | * compact complex Kahler 다양체에의 응용 | ||
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* 1931 드람 | * 1931 드람 | ||
| − | * Hodge | + | * Hodge |
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*** graduation associated to the so-called "Hodge filtration" on the differential forms of the manifold | *** graduation associated to the so-called "Hodge filtration" on the differential forms of the manifold | ||
| − | * Delbeault | + | * Delbeault |
** cohomology of sheaves of holomorphic forms | ** cohomology of sheaves of holomorphic forms | ||
| − | * Kodaira | + | * Kodaira |
** vanishing theorem | ** vanishing theorem | ||
** analytic proof of Lefschetz theorem on hyperplane sections of a projective manifold | ** analytic proof of Lefschetz theorem on hyperplane sections of a projective manifold | ||
** embedding theorem | ** embedding theorem | ||
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** sheaf cohomology using fine resolutions | ** sheaf cohomology using fine resolutions | ||
| − | * Grothendieck | + | * Grothendieck |
** sheaf cohomology in algebraic geometry | ** sheaf cohomology in algebraic geometry | ||
| − | * Deligne | + | * Deligne |
** existence of a mixed Hodge structure on the cohomology of algebraic varieties | ** existence of a mixed Hodge structure on the cohomology of algebraic varieties | ||
* [[미분형식]] | * [[미분형식]] | ||
2020년 11월 12일 (목) 22:36 판
개요
- 드람 코호몰로지 = closed forms modulo exact forms
- 드람 정리
- 드람 코호몰로지와 싱귤러 호몰로지는 서로 쌍대 관계에 있으며, 이 때의 pairing은 미분형식의 cycle 위에서의 적분으로 주어진다
- (또는) 드람 코호몰로지(해석적인 불변량)와 싱귤러 코호몰로지(위상적 불변량)는 동형이다
- 훗날 sheaf 코호몰로지 이론으로 발전
예
- 한 점이 빠진 유클리드 공간 의 드람 코호몰로지\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^n \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}\]
- n=3 인 경우\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^3 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,2 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,2 \end{cases}\]역제곱 벡터장 항목 참조
- n=2 인 경우\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,1 \end{cases}\]각원소 벡터장 항목 참조
드람-호지 이론
- finding a canonical representative in a given cohomology class
- \(M\) : 리만 다양체, \(g\)는 메트릭
- \(A^k(M)\) : smooth \(k\)-forms on M
- M이 컴팩트이고 유향이면, \(A^k(M)\)에 다음과 같이 정의되는 내적이 존재한다
\[ \langle \phi, \psi \rangle:=\int_{M}g(\phi,\psi)dV \]
- 라플라시안
- harmonic forms
- metric independence
- 조화 호지 분해 정리
- compact oriented 리만 다양체 M에 대하여 다음의 직교 분해가 존재한다
\[ A^k(M)=H_{\Delta}^k(M)\oplus dA^{k-1}(M)\oplus d^{*}A^{k+1}(M) \] 여기서 \(H_{\Delta}^k(M)\)는 space of harmonic forms
- compact complex Kahler 다양체에의 응용
- Hodge structure
역사
- 1931 드람
- Hodge
- Hodge decomposition
- graduation associated to the so-called "Hodge filtration" on the differential forms of the manifold
- Hodge decomposition
- Delbeault
- cohomology of sheaves of holomorphic forms
- Kodaira
- vanishing theorem
- analytic proof of Lefschetz theorem on hyperplane sections of a projective manifold
- embedding theorem
- Leray
- sheaf cohomology using fine resolutions
- Grothendieck
- sheaf cohomology in algebraic geometry
- Deligne
- existence of a mixed Hodge structure on the cohomology of algebraic varieties
- 미분형식
- 수학사 연표
메모
- http://www.amazon.com/Differential-Forms-Singular-Varieties-Mathematics/dp/0849337399
- http://www.math.upenn.edu/~siegelch/Notes/Cattani1.pdf
- Variations on the de Rham Complex Michael Eastwood http://www.ams.org/notices/199911/fea-eastwood.pdf
관련된 항목들
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- De Rham Cohomology and Harmonic Differential Forms. 2005. In Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 83–103. Universitext. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-28891-0_2.