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* 복소 이차 수체 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-d})</math> 가 [[수체의 class number|class number]] 1인 경우 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.<br> | * 복소 이차 수체 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-d})</math> 가 [[수체의 class number|class number]] 1인 경우 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.<br> | ||
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* <math>h(\mathbb{Q}(\sqrt{-d}))=1</math> 이라고 가정하자 | * <math>h(\mathbb{Q}(\sqrt{-d}))=1</math> 이라고 가정하자 | ||
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* <math>d=p\equiv 3 \pmod 8</math> 를 가정하자<br> | * <math>d=p\equiv 3 \pmod 8</math> 를 가정하자<br> | ||
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<math>\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}+16}{\mathfrak{f}_2(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}</math> | <math>\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}+16}{\mathfrak{f}_2(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}</math> | ||
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* 가우스가 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]을 연구하며 위의 결과를 추측 | * 가우스가 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]을 연구하며 위의 결과를 추측 | ||
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| − | ==관련도서 | + | ==관련도서== |
* David A. Cox, [http://www.amazon.com/Primes-Form-x2-ny2-Multiplication/dp/0471190799 Primes of the Form x2 + ny2 : Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication]<br> | * David A. Cox, [http://www.amazon.com/Primes-Form-x2-ny2-Multiplication/dp/0471190799 Primes of the Form x2 + ny2 : Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication]<br> | ||
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| − | ==사전형태의 참고자료 | + | ==사전형태의 참고자료== |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_one_problem | * http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_one_problem | ||
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| − | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트 | + | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트== |
* [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183552617 Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields]<br> | * [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183552617 Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields]<br> | ||
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* The class number of quadratic fields and the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer<br> | * The class number of quadratic fields and the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 10:55 판
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개요
- 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\) 가 class number 1인 경우 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.
- \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)
step 0
- \(h(\mathbb{Q}(\sqrt{-d}))=1\) 이라고 가정하자
- reduce to \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)
- \(d\equiv 1,2 \pmod 4\) 이면 \(d=1,2\)
- \(d\equiv 7 \pmod 8\) 이면 \(d=7\)
리뷰 : 베버 모듈라 함수
\(\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)
\(\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)
\(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)
\(\gamma_2(\tau)=\sqrt[3]{j(\tau)}\)
step 1
- \(d=p\equiv 3 \pmod 8\) 를 가정하자
- \(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\) 이면, \(\gamma_2(\tau_0)\in \mathbb{Z}\) 이다
step 2
\(\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}+16}{\mathfrak{f}_2(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}\)
\(x^{24}-\gamma_2(\tau)x^8-16=0\)
step 3
- \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)
- \(\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\in\mathbb{Q}(j(\sqrt{-p}))\) generates a cubic extension of \(\mathbb{Q}\).
- \(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\)
- \(\alpha=\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\) 로 두면, \(\alpha^4=-\mathfrak{f}_2(\tau_0)^8\)는 \(x^{3}-\gamma_2(\tau_0)x-16=0\) 의 해이다
- 한편 \(\alpha=2/\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\) 이므로, 3차 정수 계수 다항식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\) 의 해이다
역사
- 가우스가 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)을 연구하며 위의 결과를 추측
- 1952년 히그너에 의해 증명이 얻어지나 옳은 것으로 인정받지 못함
- 1966-67년 스타크와 베이커에 의해 증명됨
- 스타크는 히그너의 증명은 본질적으로 옳았음을 주장
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 항목들
- 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
- 수체의 class number
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
- 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
- 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록
- 오일러의 소수생성다항식
- 숫자 163
관련도서
- David A. Cox, Primes of the Form x2 + ny2 : Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication
- 271p
- J.Conway and R. Guy, The book of numbers
- 224-226p, Nine Magic Discriminant (pdf)
사전형태의 참고자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_one_problem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number
- http://en.wikipedia.org/wiki/Stark–Heegner_theorem
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields
- Dorian Goldfeld, Source: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
- Heegner Points: The Beginnings
- Birch, from Heegner Points and Rankin L-Series(edited by Henri Darmon and Shou-Wu Zhang)
- The Class Number Problem
- Roy W. Ryden, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 200-202
관련논문
- The class number of quadratic fields and the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer
- Goldfeld, Dorian, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 3 (1976), no. 4
- Class-Numbers of Complex Quadratic Fields
- H. M. Stark, from Modular Functions of One Variable I, 1973
- On the class number of imaginary quadratic fields
- A. Baker, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 77, Number 5 (1971), 678-684.
- H. M. Stark, On the gap in the theorem of Heegner, JOURNAL OF NUMBER THEORY 1 16-27 (1969)
- There is no Tenth Complex Quadratic Field with Class-Number One
- H. M. Stark, Proc Natl Acad Sci U S A. 1967 February; 57(2): 216–221
- On the imaginary quadratic corpora of class number one
- H. Heilbronn and E. H. Linfoot, Quart. J. Math. Oxford Ser 2 5 (1934), 293-301
- \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)
- 스타크는 히그너의 증명은 본질적으로 옳았음을 주장
- 271p
- 224-226p, Nine Magic Discriminant (pdf)
- Dorian Goldfeld, Source: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
- Birch, from Heegner Points and Rankin L-Series(edited by Henri Darmon and Shou-Wu Zhang)
- Roy W. Ryden, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 200-202
- Goldfeld, Dorian, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 3 (1976), no. 4
- H. M. Stark, from Modular Functions of One Variable I, 1973
- A. Baker, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 77, Number 5 (1971), 678-684.
- H. M. Stark, Proc Natl Acad Sci U S A. 1967 February; 57(2): 216–221
- H. Heilbronn and E. H. Linfoot, Quart. J. Math. Oxford Ser 2 5 (1934), 293-301