"각의 삼등분(3등분, The trisection of an angle)"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
 
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* [[작도문제와 구적가능성]] 에 나온 서술된 바와 같이, 작도가 가능한 수는 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 통해 얻어지는 체확장을 반복해서 얻어지는 수의 집합 안에 들어 있다.
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* 만약 3등분 가능하지 않은 각을 제시할 수 있으면 증명이 된다.
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주어진 각 <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> 를 3등분하는 경우에 대하여 생각해 보자.
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먼저 이 각도는 정삼각형의 한 각의 크기와 같으므로, 자와 컴파스로 작도가능하다.
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<math>\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}</math>와 코사인이 만족시키는 공식 <math>\cos(3\alpha) = 4\cos^{3}(\alpha) - 3\cos(\alpha)</math> 
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Note that a number [http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number constructible] in one step from a [http://en.wikipedia.org/wiki/Field field] K is a solution of a [http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial second-order polynomial]. Note also that π / 3 [http://en.wikipedia.org/wiki/Radian radians] (60 [http://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(angle) degrees], written 60°) is [http://en.wikipedia.org/wiki/Equilateral_triangle constructible].
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However, the angle of π / 3 [http://en.wikipedia.org/wiki/Radian radians] (60 [http://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(angle) degrees]) cannot be trisected. Note <math>\cos(\pi/3) = \cos(60^\circ) = 1/2</math>.
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If 60° could be trisected, the minimal polynomial of <math>\cos(20^\circ)</math> over <math>\mathbb{Q}</math> would be of second order. Note the [http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_identity trigonometric identity] cos(3α) = 4cos<sup style="line-height: 1em;">3</sup>(α) − 3cos(α). Now let <math>y = \cos(20^\circ)</math>.
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By the above identity, <math>\cos(60^\circ) = 1/2 = 4y^{3} - 3y</math>. So 4y<sup style="line-height: 1em;">3</sup> − 3y − 1 / 2 = 0. Multiplying by two yields 8y<sup style="line-height: 1em;">3</sup> − 6y − 1 = 0, or (2y)<sup style="line-height: 1em;">3</sup> − 3(2y) − 1 = 0. Now substitute x = 2y, so that x<sup style="line-height: 1em;">3</sup> − 3x − 1 = 0. Letp(x) = x<sup style="line-height: 1em;">3</sup> − 3x − 1.
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The [http://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_polynomial_(field_theory) minimal polynomial] for x (hence <math>\cos(20^\circ)</math>) is a factor of p(x). If p(x) has a [http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root rational root], by the [http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem rational root theorem], it must be 1 or −1, both clearly not roots. Therefore p(x) is [http://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_polynomial irreducible] over <math>\mathbb{Q}</math>, and the minimal polynomial for <math>\cos(20^\circ)</math> is of degree 3.
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So an angle of <math>60^\circ = \pi/3</math> [http://en.wikipedia.org/wiki/Radians radians] cannot be trisected.
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2009년 6월 29일 (월) 23:16 판

간단한 소개
  • 작도문제와 구적가능성 에 나온 서술된 바와 같이, 작도가 가능한 수는 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 통해 얻어지는 체확장을 반복해서 얻어지는 수의 집합 안에 들어 있다.
  • 만약 3등분 가능하지 않은 각을 제시할 수 있으면 증명이 된다.

 

3등분 가능하지 않은 각도

주어진 각 \(\theta=\frac{\pi}{3}\) 를 3등분하는 경우에 대하여 생각해 보자.

먼저 이 각도는 정삼각형의 한 각의 크기와 같으므로, 자와 컴파스로 작도가능하다.

여기서는 

\(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)와 코사인이 만족시키는 공식 \(\cos(3\alpha) = 4\cos^{3}(\alpha) - 3\cos(\alpha)\) 

 

Note that a number constructible in one step from a field K is a solution of a second-order polynomial. Note also that π / 3 radians (60 degrees, written 60°) is constructible.

However, the angle of π / 3 radians (60 degrees) cannot be trisected. Note \(\cos(\pi/3) = \cos(60^\circ) = 1/2\).

If 60° could be trisected, the minimal polynomial of \(\cos(20^\circ)\) over \(\mathbb{Q}\) would be of second order. Note the trigonometric identity cos(3α) = 4cos3(α) − 3cos(α). Now let \(y = \cos(20^\circ)\).

By the above identity, \(\cos(60^\circ) = 1/2 = 4y^{3} - 3y\). So 4y3 − 3y − 1 / 2 = 0. Multiplying by two yields 8y3 − 6y − 1 = 0, or (2y)3 − 3(2y) − 1 = 0. Now substitute x = 2y, so that x3 − 3x − 1 = 0. Letp(x) = x3 − 3x − 1.

The minimal polynomial for x (hence \(\cos(20^\circ)\)) is a factor of p(x). If p(x) has a rational root, by the rational root theorem, it must be 1 or −1, both clearly not roots. Therefore p(x) is irreducible over \(\mathbb{Q}\), and the minimal polynomial for \(\cos(20^\circ)\) is of degree 3.

So an angle of \(60^\circ = \pi/3\) radians cannot be trisected.

 

 

 

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