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==개요== | ==개요== | ||
* 다음과 같은 급수로 정의되는 상수 | * 다음과 같은 급수로 정의되는 상수 | ||
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C = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629. | C = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629. | ||
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| − | 여기서 | + | 여기서 <math>\{s_i\}</math>는 [[실베스터 수열]], 즉 <math>s_i = s_{i-1}^2-s_{i-1}+1</math>, <math>s_0=2</math>로 정의되는 정수열 |
* 초월수이며, 연분수 전개는 다음과 같다 | * 초월수이며, 연분수 전개는 다음과 같다 | ||
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C=[0; 1, 1, 1, 4, 9, 196, 16641, 639988804,\cdots] | C=[0; 1, 1, 1, 4, 9, 196, 16641, 639988804,\cdots] | ||
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| − | * | + | * <math>C=[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots]</math>로 쓰면, <math>a_n</math>은 다음의 점화식으로 얻어진다 |
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a_0=0,a_1=a_2=a_3=1 \\ | a_0=0,a_1=a_2=a_3=1 \\ | ||
a_{n+2}=a_{n}s_{n-2},\, n\geq 2 | a_{n+2}=a_{n}s_{n-2},\, n\geq 2 | ||
| − | + | </math> | |
| − | * | + | * <math>a_n</math>은 모두 완전제곱수가 된다 |
==메모== | ==메모== | ||
| − | * 다음과 같이 상수 | + | * 다음과 같이 상수 <math>C'</math>를 정의하자 |
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C' = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i}=\frac12 - \frac13 + \frac17 - \frac1{43} + \frac1{1807} - \cdots\approx 0.2868210926. | C' = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i}=\frac12 - \frac13 + \frac17 - \frac1{43} + \frac1{1807} - \cdots\approx 0.2868210926. | ||
| − | + | </math> | |
| − | * | + | * <math>C'=2C-1</math>이 성립한다 |
* 이는 다음을 이용하여 보일 수 있다 | * 이는 다음을 이용하여 보일 수 있다 | ||
| − | + | :<math> | |
\frac{1}{s_i}=\frac{1}{s_{n-1}-1}-\frac{1}{s_{n}-1} | \frac{1}{s_i}=\frac{1}{s_{n-1}-1}-\frac{1}{s_{n}-1} | ||
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2020년 11월 13일 (금) 02:32 판
개요
- 다음과 같은 급수로 정의되는 상수
\[ C = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629. \] 여기서 \(\{s_i\}\)는 실베스터 수열, 즉 \(s_i = s_{i-1}^2-s_{i-1}+1\), \(s_0=2\)로 정의되는 정수열
- 초월수이며, 연분수 전개는 다음과 같다
\[ C=[0; 1, 1, 1, 4, 9, 196, 16641, 639988804,\cdots] \]
- \(C=[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots]\)로 쓰면, \(a_n\)은 다음의 점화식으로 얻어진다
\[ a_0=0,a_1=a_2=a_3=1 \\ a_{n+2}=a_{n}s_{n-2},\, n\geq 2 \]
- \(a_n\)은 모두 완전제곱수가 된다
메모
- 다음과 같이 상수 \(C'\)를 정의하자
\[ C' = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i}=\frac12 - \frac13 + \frac17 - \frac1{43} + \frac1{1807} - \cdots\approx 0.2868210926. \]
- \(C'=2C-1\)이 성립한다
- 이는 다음을 이용하여 보일 수 있다
\[ \frac{1}{s_i}=\frac{1}{s_{n-1}-1}-\frac{1}{s_{n}-1} \]
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