"감마함수의 비와 라마누잔의 연분수"의 두 판 사이의 차이
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<h5>감마함수와 무한곱</h5> | <h5>감마함수와 무한곱</h5> | ||
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2012년 4월 28일 (토) 16:48 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 감마함수의 비를 다음과 같이 연분수로 표현가능
\(\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4} (-n+x+1)\right) \Gamma \left(\frac{1}{4} (n+x+1)\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{4} (-n+x+3)\right) \Gamma \left(\frac{1}{4} (n+x+3)\right)}=\cfrac{4}{x-\cfrac{n^2-1}{2 x-\cfrac{n^2-9}{2 x-\cfrac{n^2-25}{2 x-\cfrac{n^2-49}{2 x-\cfrac{n^2-81}{2 x-\cfrac{n^2-121}{2 x-\cfrac{n^2-169}{2 x-\cfrac{n^2-225}{2 x-\cfrac{n^2-289}{2 x-\cdots}}}}}}}}}}\) - \(n=0, x=1\) 인 경우, 원주율과 연분수 Brouncker 의 공식 을 얻는다
\(\frac \pi 4 = \cfrac{1}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}\)
감마함수와 무한곱
- 감마함수
\(\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} \)
\(1+{q \over 1+q + } {q^2 \over 1+q^2+} {q^3 \over 1+q^3} } \cdots=\frac{(q^2;q^4)_{\infty}^2}{(q^1;q^4)_{\infty}(q^3;q^4)_{\infty}}\) 로부터
\(\frac{\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{2}{4})\Gamma(\frac{2}{4})}=\sqrt{2}\)
역사
메모
[Alladi&Gordon1993] 277-278p
Partition identities and a continued fraction of Ramanujan
\(R(a,b)=\frac{f(a,a^{-1}b)}{f(aq,a^{-1}b)}-a=\frac{R^{N}(a,b)}{R^{D}(a,b)}=1+\frac{bq}{1+aq} {\ \atop+} \frac{bq^2}{1+aq^2}{\ \atop+} \frac{bq^3}{1} {\ \atop+\dots}\)
\(R(1,1)=\frac{R^{N}(1,1)}{R^{D}(1,1)}=1+{q \over 1+q + } {q^2 \over 1+q^2+} {q^3 \over 1+q^3} } \cdots=\frac{(q^2;q^4)_{\infty}^2}{(q^1;q^4)_{\infty}(q^3;q^4)_{\infty}}\)
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전
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- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
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- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
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