"Lagrangian formulation of electromagetism"의 두 판 사이의 차이
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* 전하가 받는 힘 $\mathbf{F}$는 다음과 같다 | * 전하가 받는 힘 $\mathbf{F}$는 다음과 같다 | ||
| − | :<math>\mathbf{F}=e\mathbf{E}+ | + | :<math>\mathbf{F}=e(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})</math> |
| − | * | + | * 이를 로렌츠 힘이라 한다 |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force | * http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force | ||
* {{수학노트|url=전자기_텐서와_맥스웰_방정식}} | * {{수학노트|url=전자기_텐서와_맥스웰_방정식}} | ||
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==전자기장에 대한 라그랑지안== | ==전자기장에 대한 라그랑지안== | ||
| − | === | + | ===상호작용이 없는 경우=== |
| − | * | + | * $j$와 $\rho$가 0인 경우 |
| + | * 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다 | ||
$$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2)$$ | $$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2)$$ | ||
이 때 <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜 | 이 때 <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜 | ||
| − | * | + | * 작용 |
:<math>S=-\frac{1}{4}\int F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\,d^{4}x</math> | :<math>S=-\frac{1}{4}\int F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\,d^{4}x</math> | ||
* 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다 | * 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다 | ||
:<math>A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\Lambda(x)</math> | :<math>A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\Lambda(x)</math> | ||
여기서 $\Lambda(x)$는 임의의 스칼라장 | 여기서 $\Lambda(x)$는 임의의 스칼라장 | ||
| − | * | + | * 운동방정식 |
$$ | $$ | ||
\partial_\mu F^{\mu\nu}=0 | \partial_\mu F^{\mu\nu}=0 | ||
$$ | $$ | ||
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| − | === | + | ===상호작용이 있는 경우=== |
| − | * | + | * $j$와 $\rho$가 0이 아닌 경우 |
| + | * 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다 | ||
$$L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-ej_\mu A^\mu$$ | $$L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-ej_\mu A^\mu$$ | ||
| − | * | + | * 작용 |
$$S[\phi,A]=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}\left(-\rho\phi+j\cdot A+\frac{\epsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)\,dV\,dt$$ | $$S[\phi,A]=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}\left(-\rho\phi+j\cdot A+\frac{\epsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)\,dV\,dt$$ | ||
| − | * | + | * 운동방정식 |
| − | + | $$ | |
| − | + | \nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ | |
| − | + | \nabla\times B=\mu_0j+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial E}{\partial t} | |
| + | $$ | ||
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==memo== | ==memo== | ||
| − | * http://dexterstory.tistory.com/ | + | * http://dexterstory.tistory.com/724 |
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* Susskind, [http://www.lecture-notes.co.uk/susskind/classical-mechanics/lecture-8/the-electromagnetic-lagrangian/ The electromagnetic Lagrangian] | * Susskind, [http://www.lecture-notes.co.uk/susskind/classical-mechanics/lecture-8/the-electromagnetic-lagrangian/ The electromagnetic Lagrangian] | ||
* Lecture 8 | Modern Physics: Classical Mechanics (Stanford). 2008. http://www.youtube.com/watch?v=gUUbl444r74&feature=youtube_gdata_player. | * Lecture 8 | Modern Physics: Classical Mechanics (Stanford). 2008. http://www.youtube.com/watch?v=gUUbl444r74&feature=youtube_gdata_player. | ||
| − | + | * http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/six.pdf | |
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==questions== | ==questions== | ||
* http://physics.stackexchange.com/questions/3005/derivation-of-maxwells-equations-from-field-tensor-lagrangian?rq=1 | * http://physics.stackexchange.com/questions/3005/derivation-of-maxwells-equations-from-field-tensor-lagrangian?rq=1 | ||
2014년 1월 29일 (수) 06:48 판
하전입자에 대한 라그랑지안
- 전기장 $\mathbf{E}=\nabla \phi$
- 자기장 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$
- 전자기장 안에 놓인 질량 $m$, 전하 $e$의 하전입자에 대한 라그랑지안
\[L(q,\dot{q})=\frac{m||\dot{q}||^2}{2}-e\phi+eA_{i}\dot{q}^{i}\]
- 켤레운동량
\[p_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}^{i}}}=m \dot{q}_{i}+eA_{i}=mv_{i}+eA_{i}\]
- 오일러-라그랑지 방정식 \(\dot{p}=F\)은 다음과 같이 쓰여진다
$$ \dot{p}_{i}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial t}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j} \\ F_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{q^{i}}}=\frac{\partial}{\partial{{q}^{i}}}(-e\phi+eA_{j}\dot{q}^{j})=-e\frac{\partial{\phi}}{\partial{q}^{i}} +e\frac{\partial{A_{j}}}{\partial{q}^{i}}\dot{q}^{j} $$ \[m\frac{dv_{i}}{dt}=eE_{i}+eF_{ij}\dot{q}^{j},\quad i=1,2,3 \label{eom}\] 여기서 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!$
- $F_{12}=B_{3}$, $F_{23}=B_{1}$, $F_{31}=B_{2}$
- 가령 $i=1$이면, \ref{eom}은 다음과 같다
$$ ma_1=eE_1+e(F_{11}\dot{q}^{1}+F_{12}\dot{q}^{2}+F_{13}\dot{q}^{3})=eE_1+e(F_{12}\dot{q}^{2}-F_{31}\dot{q}^{3})=eE_1+e(\mathbf{v}\times \mathbf{B})_{1} $$
- 전하가 받는 힘 $\mathbf{F}$는 다음과 같다
\[\mathbf{F}=e(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\]
- 이를 로렌츠 힘이라 한다
- http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force
- 틀:수학노트
전자기장에 대한 라그랑지안
상호작용이 없는 경우
- $j$와 $\rho$가 0인 경우
- 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다
$$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2)$$ 이 때 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜
- 작용
\[S=-\frac{1}{4}\int F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\,d^{4}x\]
- 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다
\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\Lambda(x)\] 여기서 $\Lambda(x)$는 임의의 스칼라장
- 운동방정식
$$ \partial_\mu F^{\mu\nu}=0 $$
상호작용이 있는 경우
- $j$와 $\rho$가 0이 아닌 경우
- 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다
$$L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-ej_\mu A^\mu$$
- 작용
$$S[\phi,A]=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}\left(-\rho\phi+j\cdot A+\frac{\epsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)\,dV\,dt$$
- 운동방정식
$$ \nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla\times B=\mu_0j+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial E}{\partial t} $$
memo
매스매티카 파일 및 계산 리소스
리뷰, 에세이, 강의노트
- THOMAS YU Lagrangian formulation of the electromagnetic field
- Lea, The field Lagrangian
- Susskind, The electromagnetic Lagrangian
- Lecture 8 | Modern Physics: Classical Mechanics (Stanford). 2008. http://www.youtube.com/watch?v=gUUbl444r74&feature=youtube_gdata_player.
- http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/six.pdf