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이 공부에는 유비(analogy)적인 생각이 매우 유용하다. 
  
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무리함수적분 사인함수 원의 발견
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<math>\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz</math>
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이 함수를 제대로 이해하려면, 적어도 세 가지를 이해해야 한다.
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<math>\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math> 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다.
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두번째
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<math>\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz</math> 는 그럼 또 어떤 공간에 정의된 함수인가?
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P 역시 2 sheeted 리만 곡면에서 정의되어 있다. 다만 이 값은 경로에 의존할 것이다. 
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한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다. 
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세번째
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이 함수의 공역은 무엇인가?
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타원적분 타원함수 토러스의 발견
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[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint_0%5Ex%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%7Ddx%2B%5Cint_0%5Ey%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%7Ddx%20%3D%20%5Cint_0%5E%7Bx%5Csqrt%7B1-y%5E2%7D%2By%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%7Ddx%20 ]
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[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Carcsin%20x%2B%5Carcsin%20y%3D%5Carcsin%20%28x%5Csqrt%7B1-y%5E2%7D%2By%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%29 ]<br>[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csin%20%5Cleft%28x%2By%5Cright%29%3D%5Csin%20x%20%5Ccos%20y%20%2B%20%5Ccos%20x%20%5Csin%20y%5C ]
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이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다. 
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복소함수와 브랜치컷
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하나의 브랜치가 고정되었다고 하자.  
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<math>w=f(z)</math>
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<math>(z,w)</math> 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다. 
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2009년 8월 22일 (토) 10:53 판

이 공부에는 유비(analogy)적인 생각이 매우 유용하다. 

무리함수적분 사인함수 원의 발견

\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\)

 

이 함수를 제대로 이해하려면, 적어도 세 가지를 이해해야 한다.

 

첫번째

\(\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\) 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다.

 

두번째

\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\) 는 그럼 또 어떤 공간에 정의된 함수인가?

P 역시 2 sheeted 리만 곡면에서 정의되어 있다. 다만 이 값은 경로에 의존할 것이다. 

한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다. 

 

세번째

이 함수의 공역은 무엇인가?

 

 

타원적분 타원함수 토러스의 발견

 

 

[1]

[2]
[3]

 

이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다. 

 

 

복소함수와 브랜치컷

하나의 브랜치가 고정되었다고 하자.  

\(w=f(z)\)

\((z,w)\) 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다. 

 


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