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+ | * <math>k=1</math>인 경우의 아이젠슈타인급수는 위에서 얻은 푸리에 급수를 이용하여 정의<br><math>G_{2}(\tau) = \zeta(2) \left(1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n} \right)</math><br> | ||
+ | * 원래의 정의와 비슷하게 쓰려면 절대수렴하지 않는 급수 다음과 같이 덧셈의 순서를 따름<br><math>G_{2}(\tau) = \frac{1}{2}\sum_{n\neq 0} \frac{1}{n^2}+\frac{1}{2}\sum_{m\neq0}\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{(m\tau+n)^{2}}</math><br> | ||
+ | * 정규 아이젠슈타인 급수<br><math>E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}</math><br> | ||
+ | * modularity<br><math>G_{2} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2} G_{2}(\tau)-\pi i c(c\tau+d)</math><br> | ||
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+ | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">E2 as a non-holomorphic modular form</h5> | ||
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+ | * <math>\tau = x+ iy</math>, <math>y > 0 </math>에 대하여 다음과 정의된 함수는 모듈라 성질을 가짐<br><math>G^{*}_{2}(\tau) = G_{2}(\tau)-\frac{\pi}{2y}</math><br><math>E^{*}_{2}(\tau) = E_{2}(\tau)-\frac{3}{\pi y}</math><br> | ||
+ | * obtaing modularity losing holomorphicity<br> | ||
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+ | <h5>Zagier's function</h5> | ||
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+ | * Hurwitz class numbers | ||
+ | * [[2518886/attachments/1125570|Cox_on_Hurwitz_class_number.pdf]] (Cox's book 319p) | ||
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+ | * Zagier's paper<br> | ||
+ | ** [[2518886/attachments/1114996|4371_001.pdf]] | ||
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+ | * Zagier-Hirzebruch function<br> | ||
+ | ** [http://www.springerlink.com/content/tj087l782j164m50/ Intersection numbers of curves on Hibert modular surfaces and modular forms of Nebentypus] | ||
+ | ** function with coefficients as Hurwitz class numbers | ||
+ | ** [[2518886/attachments/1114356|zagier_hirzebruch.pdf]] | ||
+ | * [http://www.springerlink.com/content/lk767l65118h115h/ Sums involving the values at negative integers of L-functions of quadratic characters]<br> | ||
+ | ** Henri Cohen, 1975<br> |
2012년 8월 26일 (일) 13:04 판
weight 2 Eisenstein series
- \(k=1\)인 경우의 아이젠슈타인급수는 위에서 얻은 푸리에 급수를 이용하여 정의
\(G_{2}(\tau) = \zeta(2) \left(1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n} \right)\) - 원래의 정의와 비슷하게 쓰려면 절대수렴하지 않는 급수 다음과 같이 덧셈의 순서를 따름
\(G_{2}(\tau) = \frac{1}{2}\sum_{n\neq 0} \frac{1}{n^2}+\frac{1}{2}\sum_{m\neq0}\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{(m\tau+n)^{2}}\) - 정규 아이젠슈타인 급수
\(E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\) - modularity
\(G_{2} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2} G_{2}(\tau)-\pi i c(c\tau+d)\)
E2 as a non-holomorphic modular form
- \(\tau = x+ iy\), \(y > 0 \)에 대하여 다음과 정의된 함수는 모듈라 성질을 가짐
\(G^{*}_{2}(\tau) = G_{2}(\tau)-\frac{\pi}{2y}\)
\(E^{*}_{2}(\tau) = E_{2}(\tau)-\frac{3}{\pi y}\) - obtaing modularity losing holomorphicity
Zagier's function
- Hurwitz class numbers
- Cox_on_Hurwitz_class_number.pdf (Cox's book 319p)
- Zagier's paper
- Zagier-Hirzebruch function
- Intersection numbers of curves on Hibert modular surfaces and modular forms of Nebentypus
- function with coefficients as Hurwitz class numbers
- zagier_hirzebruch.pdf
- Sums involving the values at negative integers of L-functions of quadratic characters
- Henri Cohen, 1975
- Henri Cohen, 1975