고전역학에서의 적분가능 모형

적분가능 모형

• 고전/양자 역학에서의 적분가능 모형은 교환법칙을 만족시키는 적분들 또는 보존량의 존재를 특징으로 함
  
• 자유도가 N으로 주어진 계
  
• 해밀토니안 \(H(q,p)\)
  
• 위치 변수 \(q=(q_1,\cdots,q_N)\)
  
• 운동량 변수 \(p=(p_1,\cdots,p_N)\)
  
• 운동방정식
  \(\dot{q}_i=\partial H/\partial p_i\)
  \(\dot{p}_i=-\partial H/\partial q_i\)
  
• N개의 독립인 보존량(또는 제1적분) \(L_1(x),\cdots,L_N(x)\)이 필요하다
• 포아송 괄호
  \(f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)\)
  \(\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]\)
  
• L과 H의 포아송 괄호 \(\{L_i,H\}\)
  
• 보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다
  \(\{L_i,H\}=0\)
  \(\{L_i,L_j\}=0\)
  
• action-angle 변수
  
  • 새로운 변수action 변수 \(I\), angle 변수 \({\theta}\) 를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 \(H(I,\theta)\)
    
  • 다음 조건을 만족시켜야 한다
    \(\dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega\), \(\partial H/\partial \theta=0\)
    

 

 

 

자유낙하하는 물체

• 해밀토니안
  \(H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq\)
  g는 중력가속도. m은 입자의 질량
  
• 해밀턴 방정식
  \(\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\)
  \(\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg\)
  
• 운동방정식
  \(\ddot{q}=-g\)
  
• 보존량
  \(L_1(q,p)=H(q,p)\)
  에너지
  

 

 

 

단순조화진동자(simple harmonic oscillator)

• http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%9E%90
  
• 질량 m, 각속도 \(\omega\) 인 조화진동자
  
• 해밀토니안
  \(H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\)
  
• 해밀턴 방정식
  \(\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\)
  \(\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\)
  
• 운동방정식
  \(\ddot{q}=-\omega^{2} q\) 즉 \(\ddot{q}+\omega^{2} q=0\)
  
• 보존량 \(L_1(q,p)=H(q,p)\)
• action-angle 변수 http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables
  action 변수 \(I\), \(H=\omega I\) 따라서 \(\partial H/\partial I=\omega\)
  angle 변수 \({\theta}\),  \(\dot{\theta}=\omega\) 따라서 \(\theta = \omega t+\theta_0\)
  

 

 

단진자

• 해밀토니안
  \(H(p_{\theta},\theta)=\frac{p_{\theta}^2}{2ml^2}-mgl\cos\theta\)
  
• 해밀턴 방정식
  \(\dot{\theta}=\partial H/\partial p_{\theta}=\frac{p_{\theta}}{ml^2}\)
  \(\dot{p_{\theta}}=-\partial H/\partial \theta=mgl\sin\theta\)
  
• 운동방정식
  \(\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin\theta=0\)
  
• 보존량
  \(\frac{H(p_{\theta},\theta)}{ml^2}\)
  
• action-angle 변수 http://www.maths.uq.edu.au/courses/MATH4104/m4104sec4.pdf
  
• http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285896.pdf
  

 

 

 

 

 

the geodesic motion on an ellipsoid

• 곡면 위의 측지선

 

 

 

 

헤논-헤일스 방정식(Hénon-Heiles Equation)[1]

• 헤논-헤일스 방정식(Hénon-Heiles Equation)
  

 

 

링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange,_Euler_and_Kovalevskaya_tops
• Mircea PUTA and Constantin VOICU, Old and New Aspects in the Lagrange Top Dynamics  http://www.esi.ac.at/preprints/esi1363.ps
• A. Lesfari, “Completely integrable systems: Jacobi's heritage,” Journal of Geometry and Physics 31, no. 4 (October 1999): 265-286.  http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440(99)00015-7

 

 

 

메모

• The 2 body problem (Kepler problem, Coulomb problem)
  
• the simple pendulum
  
• the double pendulum
  
• the free rigid body
  
• the rigid body with a fixed point(= tops - Euler top, Lagrange top,Kovaleskaya top)
  
  • Kovalevskaya Top
    
• the harmonic oscillator
  
• the an-harmonic oscillator in 2 dim
  
• the motion of a particle in a central potential
  
• the motion on a sphere with a harmonic potential
  
• the geodesic motion on an ellipsoid (Jacobi’s geodesic flow on an ellipsoid)
  
• the geodesic motion on a surface of revolution
  
• the geodesic motion on a torus
  
• the geodesic motion on a quartic
  
• the geodesic motion on SO(3)
  
• the Moser system
  
• the Calogero systems
  
• the Calogero-Moser systems
  
• the Toda lattices (periodic, non-periodic, non-abelian)
  
• the Clebsh rigid body in an ideal fluid,
  
• the n-dimensional rigid body
  
• the Garnier system
  
• the Gaudin systems
  
• KdV equation