순환 체확장(cyclic extension)

개요

• 체\(F\)와 그 갈루아체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름
• 쿰머의 이론에 의하여 일반화된다

 

 

(정리)

\(F\)가 primitive n-th root of unity \(\zeta_n\)를 포함한다 하자.(가령 \(F\)가 복소수체를 포함하는 경우)

\(K\)가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 \(a\in F\) 가 존재하여, \(K= F(a)\)와 \(a^n\in F\) 를 만족시킨다.

 

(증명)

힐버트 정리 90... 또는

\(\text{Gal}(K/F)\) 가 \(\sigma\)에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.

\(K\)에 정의된 \(F\)-선형사상 \(\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i\)는 \(\{\sigma^i\}\)의 선형독립성(데데킨트 보조정리)에 의하여,  0이 아니다.

따라서 \(\tau(b)\in K\neq 0 \) 인 \(b\in K\)가 존재한다. 

\(a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\)로 두면, (Lagrange resolvents)

 \(\sigma(a)=\sigma\left(\tau(b)\right)=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a\)

따라서 \([F(a):F]\geq n\) 임을 알 수 있고, \([K:F]=n\)으로부터 \(K= F(a)\)를 얻는다.

한편  \(\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a\) 이므로, \(\sigma(a^n)=a^n\)이 된다. 따라서 \(a^n\in F\). ■

 

 

쿰머 이론

• \(F\)가 primitive n-th root of unity \(\zeta_n\)를 포함한다 하자.
• \(F^{\times}/(F^{\times})^n\) 의 부분군과 exponent가 n인 F의 가환인 갈루아 체확장 사이에는 일대일 대응이 존재한다

 

 

역사

• 수학사 연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 가해군(solvable group)
• 순환군

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Kummer_theory
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• Mariano Suárez-Álvarez, Cyclic extensions are radical, arXiv:1604.06794 [math.HO], April 21 2016, http://arxiv.org/abs/1604.06794, 10.4169/amer.math.monthly.123.2.160, http://dx.doi.org/10.4169/amer.math.monthly.123.2.160, Amer. Math. Monthly, 123 no. 2 (2016) 160

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/