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| − | * 실수 | + | * 실수 <math>\alpha\in (0,1)</math>의 단순연분수 전개에서 나타나는 수의 분포에 대한 결과 |
==가우스-쿠즈민 분포== | ==가우스-쿠즈민 분포== | ||
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| − | * 연분수 전개 | + | * 연분수 전개 <math>\alpha=[a_0;a_1,a_2,\cdots,]</math>, <math>a_0=0</math>, <math>a_n\in \mathbb{Z}_{>0}</math> |
| − | * | + | * <math>n\geq 0</math>에 대하여 <math>\alpha_n</math>을 <math>\alpha=[a_0;a_1,a_2,\cdots, a_{n-1},\alpha_{n}]</math>를 만족하도록 정의하자. <math>\alpha_0=\alpha</math> |
| − | * | + | * <math>\alpha_n</math>의 분수부분 <math>x_n(\alpha),\, 0\leq x_n(\alpha)< 1</math>을 생각하자, 즉 |
| − | + | :<math>x_n(\alpha)=\alpha_n-a_n</math> | |
| − | * | + | * <math>\mu_n(x)=\ell(\{\alpha:x_n(\alpha)<x\})</math> 여기서 <math>\ell</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 르벡 측도 |
;정리 (가우스,쿠즈민, 레비) | ;정리 (가우스,쿠즈민, 레비) | ||
| − | 적당한 상수 | + | 적당한 상수 <math>C>0,\lambda>0</math>에 대하여, 다음이 성립한다 |
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|\mu_n(x)-\log_2 (1+x)|<Ce^{-\lambda n} | |\mu_n(x)-\log_2 (1+x)|<Ce^{-\lambda n} | ||
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| − | * | + | * <math>k\leq \alpha_{n+1}<k+1</math>이 될 조건은 <math>\frac{1}{k+1}<x_n(\alpha)\leq \frac{1}{k}</math>와 동치이다 |
* 따라서 | * 따라서 | ||
| − | + | :<math>\ell(\{\alpha\in (0,1):a_{n+1}(\alpha)=k\})=\mu_n(\frac{1}{k})-\mu_n(\frac{1}{k+1})</math> | |
* 이로부터 다음을 얻는다 | * 이로부터 다음을 얻는다 | ||
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\lim_{n\to \infty}\ell(\{\alpha\in (0,1):a_{n+1}(\alpha)=k\})=\log_2\left(1+\frac{1}{k(k+2)}\right)\sim \frac{1}{\log 2}\frac{1}{k^2} | \lim_{n\to \infty}\ell(\{\alpha\in (0,1):a_{n+1}(\alpha)=k\})=\log_2\left(1+\frac{1}{k(k+2)}\right)\sim \frac{1}{\log 2}\frac{1}{k^2} | ||
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| − | * 가령 | + | * 가령 <math>n>>0</math>에 대하여 <math>a_{n+1}(\alpha)=1</math>을 만족하는 실수집합의 르벡측도는 <math>2-\log_2 3=0.415037499\cdots</math>에 가까워진다 |
==예== | ==예== | ||
* 원주율에 대한 연분수 전개를 생각하자 | * 원주율에 대한 연분수 전개를 생각하자 | ||
| − | * | + | * <math>\pi-3=[0; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1,\cdots]</math> |
| − | * | + | * <math>a_1=7,a_2=15,a_3=1,\cdots</math>라 두자 |
| − | * 집합 | + | * 집합 <math>S_n=\{k|a_k=n,1\leq k\leq 100000\}</math>라 두자 |
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n & |S_n|/100000 & \log_2\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right) \\ | n & |S_n|/100000 & \log_2\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right) \\ | ||
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==메모== | ==메모== | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Kuzmin_distribution | * http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Kuzmin_distribution | ||
* http://mathoverflow.net/questions/81497/gauss-kuzmin-theorem-continued-fractions-why-is-important | * http://mathoverflow.net/questions/81497/gauss-kuzmin-theorem-continued-fractions-why-is-important | ||
| − | * | + | * <math>\alpha_n-\left \lfloor{\alpha_n}\right \rfloor =\{\alpha_n\}</math> |
2020년 11월 16일 (월) 04:21 판
개요
- 실수 \(\alpha\in (0,1)\)의 단순연분수 전개에서 나타나는 수의 분포에 대한 결과
가우스-쿠즈민 분포
기호
- 연분수 전개 \(\alpha=[a_0;a_1,a_2,\cdots,]\), \(a_0=0\), \(a_n\in \mathbb{Z}_{>0}\)
- \(n\geq 0\)에 대하여 \(\alpha_n\)을 \(\alpha=[a_0;a_1,a_2,\cdots, a_{n-1},\alpha_{n}]\)를 만족하도록 정의하자. \(\alpha_0=\alpha\)
- \(\alpha_n\)의 분수부분 \(x_n(\alpha),\, 0\leq x_n(\alpha)< 1\)을 생각하자, 즉
\[x_n(\alpha)=\alpha_n-a_n\]
- \(\mu_n(x)=\ell(\{\alpha:x_n(\alpha)<x\})\) 여기서 \(\ell\)는 \(\mathbb{R}\)의 르벡 측도
- 정리 (가우스,쿠즈민, 레비)
적당한 상수 \(C>0,\lambda>0\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[ |\mu_n(x)-\log_2 (1+x)|<Ce^{-\lambda n} \]
- \(k\leq \alpha_{n+1}<k+1\)이 될 조건은 \(\frac{1}{k+1}<x_n(\alpha)\leq \frac{1}{k}\)와 동치이다
- 따라서
\[\ell(\{\alpha\in (0,1):a_{n+1}(\alpha)=k\})=\mu_n(\frac{1}{k})-\mu_n(\frac{1}{k+1})\]
- 이로부터 다음을 얻는다
\[ \lim_{n\to \infty}\ell(\{\alpha\in (0,1):a_{n+1}(\alpha)=k\})=\log_2\left(1+\frac{1}{k(k+2)}\right)\sim \frac{1}{\log 2}\frac{1}{k^2} \]
- 가령 \(n>>0\)에 대하여 \(a_{n+1}(\alpha)=1\)을 만족하는 실수집합의 르벡측도는 \(2-\log_2 3=0.415037499\cdots\)에 가까워진다
예
- 원주율에 대한 연분수 전개를 생각하자
- \(\pi-3=[0; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1,\cdots]\)
- \(a_1=7,a_2=15,a_3=1,\cdots\)라 두자
- 집합 \(S_n=\{k|a_k=n,1\leq k\leq 100000\}\)라 두자
\[ \begin{array}{c|c|c} n & |S_n|/100000 & \log_2\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right) \\ \hline 1 & 0.4149 & 0.4150 \\ 2 & 0.1700 & 0.1699 \\ 3 & 0.09236 & 0.09311 \\ 4 & 0.06034 & 0.05889 \\ 5 & 0.04118 & 0.04064 \\ 6 & 0.02930 & 0.02975 \\ 7 & 0.02352 & 0.02272 \\ 8 & 0.01793 & 0.01792 \\ 9 & 0.01452 & 0.01450 \\ 10 & 0.01173 & 0.01197 \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array} \]
메모
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Kuzmin_distribution
- http://mathoverflow.net/questions/81497/gauss-kuzmin-theorem-continued-fractions-why-is-important
- \(\alpha_n-\left \lfloor{\alpha_n}\right \rfloor =\{\alpha_n\}\)
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Costa, Robert, Patrick Dynes, and Clayton Petsche. “A P-Adic Perron-Frobenius Theorem.” arXiv:1509.01702 [math], September 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.01702.