"그라스만 다양체"의 두 판 사이의 차이
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* Plücker 좌표:<math>\begin{array}{l} \Delta _{1,2}=a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1} \\ \Delta _{1,3}=a_{1,1} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,1} \\ \Delta _{1,4}=a_{1,1} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,1} \\ \Delta _{2,3}=a_{1,2} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,2} \\ \Delta _{2,4}=a_{1,2} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,2} \\ \Delta _{3,4}=a_{1,3} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,3} \end{array}</math> | * Plücker 좌표:<math>\begin{array}{l} \Delta _{1,2}=a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1} \\ \Delta _{1,3}=a_{1,1} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,1} \\ \Delta _{1,4}=a_{1,1} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,1} \\ \Delta _{2,3}=a_{1,2} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,2} \\ \Delta _{2,4}=a_{1,2} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,2} \\ \Delta _{3,4}=a_{1,3} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,3} \end{array}</math> | ||
* Plücker 관계식:<math>\Delta_{1,2}\Delta_{3,4}-\Delta_{1,3}\Delta_{2,4}+\Delta_{1,4}\Delta_{2,3}=0</math> 또는 <math>\Delta _{1,2}\Delta _{3,4}+\Delta _{1,4}\Delta _{2,3}=\Delta _{1,3}\Delta _{2,4}</math>[[톨레미의 정리]] | * Plücker 관계식:<math>\Delta_{1,2}\Delta_{3,4}-\Delta_{1,3}\Delta_{2,4}+\Delta_{1,4}\Delta_{2,3}=0</math> 또는 <math>\Delta _{1,2}\Delta _{3,4}+\Delta _{1,4}\Delta _{2,3}=\Delta _{1,3}\Delta _{2,4}</math>[[톨레미의 정리]] | ||
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2020년 11월 16일 (월) 07:21 판
개요
- Gr_{nk} = k-plane in n-space
- 실 그라스만 다양체\[Gr_{kn}(\mathbb{R}) = \{V\subset \mathbb{R}^n | \dim V = k\}\]
- rank가 k인 k x n 행렬로 그라스만 다양체의 한 점을 표현할 수 있다
Plücker embedding
- 그라스만 다양체를 사영공간으로 embedding
- \(Gr_{kn}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^{N-1}\) 여기서 \(N=\binom{n}{k}\).
- Plücker 좌표 \(\Delta_{I}(A)\) = determinant of submatrix of A with column set I
Gr(2,4) 의 예
- 4차원 다양체
- 다양체 위의 한점은 다음과 같은 형태의 rank가 2인 행렬로 나타낼 수 있다\[\left( \begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \end{array} \right)\]
- Plücker embedding \(Gr_{24}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^{5}\)
- Plücker 좌표\[\begin{array}{l} \Delta _{1,2}=a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1} \\ \Delta _{1,3}=a_{1,1} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,1} \\ \Delta _{1,4}=a_{1,1} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,1} \\ \Delta _{2,3}=a_{1,2} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,2} \\ \Delta _{2,4}=a_{1,2} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,2} \\ \Delta _{3,4}=a_{1,3} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,3} \end{array}\]
- Plücker 관계식\[\Delta_{1,2}\Delta_{3,4}-\Delta_{1,3}\Delta_{2,4}+\Delta_{1,4}\Delta_{2,3}=0\] 또는 \(\Delta _{1,2}\Delta _{3,4}+\Delta _{1,4}\Delta _{2,3}=\Delta _{1,3}\Delta _{2,4}\)톨레미의 정리
메모
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Grassmannian
- http://en.wikipedia.org/wiki/Plücker_embedding
리뷰논문, 에세이, 강의노트