근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식

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• 근과 계수에 관한 뉴턴의 항등식[[search?q=뉴턴&parent id=1996292|]]

 

 

개요

• 다항식의 근의 거듭제곱의 합을, 다항식의 계수를 통해 표현하는 공식.

 

 

2차방정식의 경우

• 2차방정식의 두 근이 \(x_1,x_2\)로 주어진다고 할 때, 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다
  \(\begin{array}{lll} x_1+x_2 & = & x_1+x_2 \\ x_1^2+x_2^2 & = & \left(x_1+x_2\right){}^2-2 x_1 x_2 \\ x_1^3+x_2^3 & = & \left(x_1+x_2\right){}^3-3 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right) \\ x_1^4+x_2^4 & = & \left(x_1+x_2\right){}^4-4 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^2+2 x_1^2 x_2^2 \\ x_1^5+x_2^5 & = & \left(x_1+x_2\right){}^5-5 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^3+5 x_1^2 x_2^2 \left(x_1+x_2\right) \end{array}\)
  
• 우변에 있는 식은 방정식의 계수로 표현할 수 있다
• 뉴턴의 항등식은 이러한 식을 고차방정식으로 일반화한다

 

 

3차방정식의 경우

• 3차방정식의 두 근이 \(x_1,x_2,x_3\)로 주어진다고 하자. 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다
  \(\begin{array}{lll} x_1+x_2+x_3 & = & x_1+x_2+x_3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2-2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \\ x_1^3+x_2^3+x_3^3 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-3 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right)+3 x_1 x_2 x_3 \\ x_1^4+x_2^4+x_3^4 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^4-4 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2+4 x_1 x_2 x_3 \left(x_1+x_2+x_3\right)+2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right){}^2 \end{array}\)
  

 

 

뉴턴의 항등식

• \(\sigma_i\) 를 거듭제곱, \(\Pi_i\) 를 대칭다항식이라 두면, 방정식의 차수에 관계없이 다음 항등식을 얻는다
  \(\begin{array}{l} \sigma _1=\Pi _1 \\ \sigma _2=\Pi _1^2-2 \Pi _2 \\ \sigma _3=\Pi _1^3-3 \Pi _1 \Pi _2+3 \Pi _3 \\ \sigma _4=\Pi _1^4-4 \Pi _1^2 \Pi _2+2 \Pi _2^2+4 \Pi _1 \Pi _3-4 \Pi _4 \\ \sigma _5=\Pi _1^5-5 \Pi _1^3 \Pi _2+5 \Pi _1 \Pi _2^2+5 \Pi _1^2 \Pi _3-5 \Pi _2 \Pi _3-5 \Pi _1 \Pi _4+5 \Pi _5 \end{array}\)
  

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 근과 계수와의 관계
• 추상대수학

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• 근과_계수에_관한_뉴턴의_항등식.nb
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation

• 매스매티카 파일 목록

 

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities
   
  

 

관련논문

• Newton's Identities
  
  • D. G. Mead, The American Mathematical Monthly, Vol. 99, No. 8 (Oct., 1992), pp. 749-751
• Newton's Identities Once Again!
  
  • Ján Mináč, The American Mathematical Monthly, Vol. 110, No. 3 (Mar., 2003), pp. 232-234