다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2

간단한 소개

• 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.

다면체	그림	점 V	선 E	면 F	V-E+F	한점에서의 외각 A	외각의 총합 V × A
정사면체	[[|Tetrahedron]]	4	6	4	4-6+4=2	\(2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi\)	\(4\times\pi=4\pi\)
정육면체	[[|Hexahedron (cube)]]	8	12	6	8-12+6=2	\(2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)	\(8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체	[[|Octahedron]]	6	12	8	6-12+8=2	\(2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)	\(6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체	[[|Dodecahedron]]	20	30	12	20-30+12=2	\(2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\)	\(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체	[[|Icosahedron]]	12	30	20	12-30+20=2	\(2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)	\(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)

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증명

• 먼저 정다면체를 구 위에 그려진 점선면의 배치로 생각하자.
• 그 다음, 꼭지점이나 선분위에 있지 않은, 면 내부의 한점에서 평면으로 사영을 시킨다.
• 그러면 평면상에 아래와 같은 그림을 얻게 되는데, 평면상에 나타난 그림을 통해 V,E,F를 세면 된다.
   
  

[/pages/2584866/attachments/1127450 eulerani.gif]

 

• 여기서 서로 다른 방(면)들은 칸막이(선)에 의해 구분되어 있는데, 칸막이를 하나 없애면, 방의 개수가 하나 줄어들게 된다. 다시 말해서 V-E+F 의 값이 계속 보존된다. 이 작업을 반복해 칸막이를 모두 없애게 되면, 마지막에는 트리 형태의 도형이 남게 되고, 이 경우 V=V, E=V-1 ,F=1 이 되므로, V-E+F=2 이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

관련된 다른 주제들

• [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|또다른 오일러의 공식]]
  
  • \(e^{i \pi} +1 = 0\)
• 볼록다면체에 대한 데카르트 정리
• 가우스-보네 정리

 

관련도서 및 추천도서

• Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
  
  • David S. Richeson
  • 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 대수적위상수학

 

참고할만한 자료

• 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리
  
  • 피타고라스의 창