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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소==
  
 
* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]]
 
* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]]
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==간단한 소개</h5>
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==간단한 소개==
  
 
* 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.
 
* 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.
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==증명</h5>
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==증명==
  
 
* 먼저 다면체를 구 위에 그려진 그래프로 이해하자. 즉, 꼭지점들을 구면에 배치하고 선분들을 구면위에 그어진 것으로 이해한다. 
 
* 먼저 다면체를 구 위에 그려진 그래프로 이해하자. 즉, 꼭지점들을 구면에 배치하고 선분들을 구면위에 그어진 것으로 이해한다. 
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==재미있는 사실</h5>
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==재미있는 사실==
  
 
* 얼핏 보면 간단한 사실임에도, 이 사실은 정다면체에 많은 관심을 가졌던 고대그리스인들의 눈에 띄지 않았고, 오랜 시간이 지난후에야 오일러에 의하여 발견
 
* 얼핏 보면 간단한 사실임에도, 이 사실은 정다면체에 많은 관심을 가졌던 고대그리스인들의 눈에 띄지 않았고, 오랜 시간이 지난후에야 오일러에 의하여 발견
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*  네이버 지식인<br>
 
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==관련된 단원</h5>
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==관련된 다른 주제들</h5>
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==관련된 다른 주제들==
  
 
* [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|또다른 오일러의 공식]]<br>
 
* [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|또다른 오일러의 공식]]<br>
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==관련도서 및 추천도서</h5>
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==관련도서 및 추천도서==
  
 
* [http://www.amazon.com/Eulers-Gem-Polyhedron-Formula-Topology/dp/0691126771 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology]<br>
 
* [http://www.amazon.com/Eulers-Gem-Polyhedron-Formula-Topology/dp/0691126771 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology]<br>
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==관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
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==관련된 고교수학 또는 대학수학==
  
 
* [[대수적위상수학]]
 
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==블로그</h5>
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==블로그==
  
 
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/09/510 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리]<br>
 
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/09/510 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리]<br>
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==동영상 강좌</h5>
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==동영상 강좌==

2012년 11월 1일 (목) 12:14 판

이 항목의 스프링노트 원문주소==    

간단한 소개

  • 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.
다면체 그림 점 V 선 E 면 F V-E+F 한점에서의 외각 A 외각의 총합 V × A
정사면체 Tetrahedron 4 6 4 4-6+4=2 \(2\pi-3 \times \frac{\pi}{3}=\pi\) \(4\times \pi = 4\pi\)
정육면체 Hexahedron (cube) 8 12 6 8-12+6=2 \(2\pi-3 \times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) \(8\times \frac{\pi}{2} = 4\pi\)
정팔면체 Octahedron 6 12 8 6-12+8=2 \(2\pi-4 \times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) \(6\times \frac{2\pi}{3} = 4\pi\)
정십이면체 Dodecahedron 20 30 12 20-30+12=2 \(2\pi-3 \times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) \(20\times \frac{\pi}{5} = 4\pi\)
정이십면체 Icosahedron 12 30 20 12-30+20=2 \(2\pi-5 \times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) \(12\times \frac{\pi}{3} = 4\pi\)
  • 여기서 어느 정다면체나  \(V-E+F=2\) 가 됨을 확인할 수 있다.
  • 이 사실은 정다면체뿐 아니라, 구면과 위상적으로 같은 성질을 갖는 다면체에 대해서도 적용됨.

 

 

증명

  • 먼저 다면체를 구 위에 그려진 그래프로 이해하자. 즉, 꼭지점들을 구면에 배치하고 선분들을 구면위에 그어진 것으로 이해한다. 
  • 그 다음 구에서 평면으로 가는 사영을 생각해 보자.
  • 그러면 평면상의 그래프를 하나 얻게 된다.
  • 이제 평면상의 그래프를 통해 V,E,F를 세면 된다.

[/pages/2584866/attachments/1127450 eulerani.gif]

  • 이 영상에서 서로 다른 방(면)들은 칸막이(선)에 의해 구분되어 있는데, 칸막이를 하나 없애면, 방의 개수가 하나 줄어들게 된다.
  • 다시 말해서 V-E+F 의 값이 계속 보존된다.
  • 이 작업을 반복해 칸막이를 모두 없애게 되면, 마지막에는 트리 형태의 도형이 남게 된다.

 

재미있는 사실

  • 얼핏 보면 간단한 사실임에도, 이 사실은 정다면체에 많은 관심을 가졌던 고대그리스인들의 눈에 띄지 않았고, 오랜 시간이 지난후에야 오일러에 의하여 발견
  •  

 

많이 나오는 질문과 답변==  

관련된 단원

 

 

관련된 다른 주제들

 

관련도서 및 추천도서

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

 

블로그

 

동영상 강좌

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