"다이로그 항등식 (dilogarithm identities)"의 두 판 사이의 차이

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*  Gordon & McIntosh<br><math>\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}-1})/2</math> 는 방정식 <math>x^4+2x^3-x-1=0</math>의 해<br><math>5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0</math><br><math>L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0</math><br>
 
*  Gordon & McIntosh<br><math>\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}-1})/2</math> 는 방정식 <math>x^4+2x^3-x-1=0</math>의 해<br><math>5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0</math><br><math>L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0</math><br>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">etc</h5>
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<math>\sum_{i=1}^{k}L((\frac{\sin\frac{\pi}{k+2}}{\sin\frac{(i+1)\pi}{k+2}}})^2)=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}</math>
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* [http://dx.doi.org/10.1007/BF01840426 Identities for the Rogers dilogarithm function connected with simple Lie algebras]<br>
 
* [http://dx.doi.org/10.1007/BF01840426 Identities for the Rogers dilogarithm function connected with simple Lie algebras]<br>
 
** A. N. Kirillov, 1989
 
** A. N. Kirillov, 1989
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* Special values of Dilogarithm
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* [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa43/aa4326.pdf Special values of the dilogarithm function]<br>
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** J. H. Loxton, 1984
 
* [http://dx.doi.org/10.1093/qmath/os-6.1.13 The functions of Schlafli and Lobatschefsky]<br>
 
* [http://dx.doi.org/10.1093/qmath/os-6.1.13 The functions of Schlafli and Lobatschefsky]<br>
 
** Coxeter, H.S.M. (1935),  Quarterly Journal of Mathematics (Oxford) 6: 13–29
 
** Coxeter, H.S.M. (1935),  Quarterly Journal of Mathematics (Oxford) 6: 13–29

2010년 2월 14일 (일) 05:23 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 로저스 dilogarithm \(L(x)\)
  • dilogarithm 항등식
    대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식
    \(\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\)
  • Polylogarithm ladders 으로 불리기도 한다

 

 

원분다항식과 dilogarithm 항등식
  • 원분다항식 (단위근에 대한 원분다항식(cyclotomic polynomial) 과는 의미가 다르나 이미 용어가 굳어져 널리 사용됨)
    \(\prod_{r}(1-x^r)^{e_r}=x^{e_0}\)
    \(e_i\) 는 정수, \(r\)은 자연수
  • 대응되는 dilogarithm 항등식
    \(\sum_{r}\frac{e_r}{r}L(x^r)=cL(1)\)
    여기서 c 는 유리수

 

 

유리수
  • 오일러
    \(L(1)=\frac{\pi^2}{6}\)
    \(-2L(-1)=L(1)\)
    \(2L(\frac{1}{2})=L(1)\)
  • Lewin
    \(L(\frac{1}{2^6})-2L(\frac{1}{2^3})-6L(\frac{1}{2^2})+2L(1)=0\)
    \(L(\frac{1}{3^2})-6L(\frac{1}{3})+2L(1)=0\)

 

 

2차식
  • 란덴
    \(5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)\)
    \(5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)\)
  • 콕세터(1935)
    \(\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\) 는 황금비
    \(L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7\pi^2}{30}\)
    \(L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)+\frac{7\pi^2}{10}\)
    \(L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{\pi^2}{5}\)
  • Lewin
    \(L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{\pi^2}{30}\)
  • Lewin
    \(x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\)
    \(L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)\)
  • Browkin
    \(x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\), \(z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}\)
    \(L(x^6)-6L(x^3)+L(x^2)+18L(x)=8L(1)\)
    \(L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)\)

 

 

3차식
  • 왓슨
    \(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\) 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.
    \(L(\alpha)-L(\alpha^2)=1/7L(1)\)
    \(L(\beta)+1/2L(\beta^2) = 5/7L(1)\)
    \(L(\gamma)+1/2L(\gamma^2) = 4/7L(1)\)
  • Loxton & Lewin
    \(x, -y, -z^{-1}\)가 방정식 \(x^3+3x^2-1=0\)의 해라고 하자.
    \(L(x^3)-3L(x^2)-3L(x)=-\frac{7}{3}L(1)\)
    \(L(y^6)-2L(y^3)-9L(y^2)+6L(y)=-\frac{2}{3}L(1)\)
    \(L(z^6)-2L(z^3)-9L(z^2)+6L(z)=\frac{2}{3}L(1)\)
  • Gordon & McIntosh
    \(a, -b, -c^{-1}\)가 방정식 \(x^3+6x^2+3x-1=0\)의 해라고 하자.
    \(2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0\)
    \(2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0\)
    \(2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0\)
     

 

 

4차식
  • Gordon & McIntosh
    \(\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}-1})/2\) 는 방정식 \(x^4+2x^3-x-1=0\)의 해
    \(5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0\)
    \(L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0\)

 

 

etc

\(\sum_{i=1}^{k}L((\frac{\sin\frac{\pi}{k+2}}{\sin\frac{(i+1)\pi}{k+2}}})^2)=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}\)

 

 

 

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